Giúp em với ạ

Câu 6. Để xác định đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho. A. \( y = x^3 - 3x - 1 \) B. \( y = \frac{x-1}{x+1} \) C. \( y = \frac{x+1}{x-1} \) D. \( y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \) Trước tiên, chúng ta sẽ kiểm tra tính chất của mỗi hàm số: 1. Hàm số \( y = x^3 - 3x - 1 \) Đây là một hàm đa thức bậc ba. Đồ thị của hàm số này thường có dạng uốn lượn và có thể có điểm cực đại và cực tiểu. 2. Hàm số \( y = \frac{x-1}{x+1} \) Đây là một hàm phân thức. Đồ thị của hàm số này có đường tiệm cận đứng tại \( x = -1 \) và đường tiệm cận ngang tại \( y = 1 \). 3. Hàm số \( y = \frac{x+1}{x-1} \) Đây cũng là một hàm phân thức. Đồ thị của hàm số này có đường tiệm cận đứng tại \( x = 1 \) và đường tiệm cận ngang tại \( y = 1 \). 4. Hàm số \( y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \) Đây là một hàm phân thức. Ta có thể rút gọn biểu thức này: \[ y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x) + 1}{x-1} = x + \frac{1}{x-1} \] Đồ thị của hàm số này có đường tiệm cận đứng tại \( x = 1 \) và đường tiệm cận ngang tại \( y = x \). Tiếp theo, chúng ta sẽ so sánh các tính chất của các hàm số này với đồ thị trong hình vẽ. - Đồ thị trong hình vẽ có đường tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). - Đồ thị trong hình vẽ có đường tiệm cận ngang tại \( y = 1 \). - Đồ thị trong hình vẽ có dạng uốn lượn và có thể có điểm cực đại và cực tiểu. Từ những thông tin trên, chúng ta thấy rằng đồ thị trong hình vẽ phù hợp nhất với hàm số \( y = \frac{x+1}{x-1} \). Vậy đáp án đúng là: C. \( y = \frac{x+1}{x-1} \) Câu 7. Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng: - Tính trọng số trung tâm của mỗi nhóm: \[ \begin{aligned} &\text{Nhóm } [20;25): \quad x_1 = 22.5 \\ &\text{Nhóm } [25;30): \quad x_2 = 27.5 \\ &\text{Nhóm } [30;35): \quad x_3 = 32.5 \\ &\text{Nhóm } [35;40): \quad x_4 = 37.5 \\ &\text{Nhóm } [40;45): \quad x_5 = 42.5 \\ \end{aligned} \] - Số lượng các nhóm tương ứng là: \( n_1 = 6 \), \( n_2 = 6 \), \( n_3 = 4 \), \( n_4 = 1 \), \( n_5 = 1 \). - Tổng số ngày: \[ N = 6 + 6 + 4 + 1 + 1 = 18 \] - Trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{6 \cdot 22.5 + 6 \cdot 27.5 + 4 \cdot 32.5 + 1 \cdot 37.5 + 1 \cdot 42.5}{18} \] \[ \bar{x} = \frac{135 + 165 + 130 + 37.5 + 42.5}{18} = \frac{510}{18} = 28.33 \] 2. Tính phương sai: - Phương sai \( S^2 \) được tính theo công thức: \[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \bar{x})^2}{N} \] \[ \begin{aligned} &n_1 (x_1 - \bar{x})^2 = 6 \cdot (22.5 - 28.33)^2 = 6 \cdot (-5.83)^2 = 6 \cdot 33.9889 = 203.9334 \\ &n_2 (x_2 - \bar{x})^2 = 6 \cdot (27.5 - 28.33)^2 = 6 \cdot (-0.83)^2 = 6 \cdot 0.6889 = 4.1334 \\ &n_3 (x_3 - \bar{x})^2 = 4 \cdot (32.5 - 28.33)^2 = 4 \cdot (4.17)^2 = 4 \cdot 17.3889 = 69.5556 \\ &n_4 (x_4 - \bar{x})^2 = 1 \cdot (37.5 - 28.33)^2 = 1 \cdot (9.17)^2 = 1 \cdot 84.0889 = 84.0889 \\ &n_5 (x_5 - \bar{x})^2 = 1 \cdot (42.5 - 28.33)^2 = 1 \cdot (14.17)^2 = 1 \cdot 200.8889 = 200.8889 \\ \end{aligned} \] \[ \sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \bar{x})^2 = 203.9334 + 4.1334 + 69.5556 + 84.0889 + 200.8889 = 562.5992 \] \[ S^2 = \frac{562.5992}{18} = 31.2555 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng 31.25. Do đó, đáp án đúng là: A. 31,25. Câu 8. Để tính $F(-2)$, ta cần sử dụng thông tin về $F(x)$ và $\int^5_{-2}f(x)dx$. Trước tiên, ta biết rằng $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$, nghĩa là $F'(x) = f(x)$. Do đó, theo định lý Newton-Leibniz, ta có: \[\int^5_{-2}f(x)dx = F(5) - F(-2)\] Ta đã biết rằng: \[\int^5_{-2}f(x)dx = 5\] \[F(5) = 2\] Thay các giá trị này vào công thức trên, ta có: \[5 = 2 - F(-2)\] Giải phương trình này để tìm $F(-2)$: \[F(-2) = 2 - 5\] \[F(-2) = -3\] Vậy đáp án đúng là C. -3. Đáp án: C. -3. Câu 9. Ta có véc tơ $\overrightarrow a$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow a=2\overrightarrow i-3\overrightarrow k$. Bộ số tọa độ của véc tơ $\overrightarrow a$ là $(2;0;-3)$. Vậy đáp án đúng là B. Câu 10. Để tìm tọa độ của điểm N, ta sử dụng công thức tính tọa độ của vectơ MN từ tọa độ của hai điểm M và N. Tọa độ của điểm M là \( M(3;1;0) \). Tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{MN} \) là \( (-1;-1;0) \). Giả sử tọa độ của điểm N là \( N(x;y;z) \). Theo công thức tính tọa độ của vectơ, ta có: \[ \overrightarrow{MN} = (x - 3, y - 1, z - 0) \] Do đó: \[ x - 3 = -1 \] \[ y - 1 = -1 \] \[ z - 0 = 0 \] Giải các phương trình này: \[ x = -1 + 3 = 2 \] \[ y = -1 + 1 = 0 \] \[ z = 0 \] Vậy tọa độ của điểm N là \( N(2;0;0) \). Đáp án đúng là: A. \( N(2;0;0) \). Câu 11. Để tính tích phân $\int^1_0 e^{3x+1} dx$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm nguyên của $e^{3x+1}$. - Ta thấy rằng đạo hàm của $e^{3x+1}$ là $3e^{3x+1}$, do đó hàm nguyên của $e^{3x+1}$ là $\frac{1}{3}e^{3x+1}$. Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân. - Tích phân $\int^1_0 e^{3x+1} dx$ sẽ là $\left[\frac{1}{3}e^{3x+1}\right]^1_0$. Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức đã tìm được. - $\left[\frac{1}{3}e^{3x+1}\right]^1_0 = \frac{1}{3}e^{3 \cdot 1 + 1} - \frac{1}{3}e^{3 \cdot 0 + 1}$ - $= \frac{1}{3}e^{4} - \frac{1}{3}e^{1}$ - $= \frac{1}{3}(e^4 - e)$ Vậy tích phân $\int^1_0 e^{3x+1} dx$ bằng $\frac{1}{3}(e^4 - e)$. Do đó, đáp án đúng là: C. $\frac{1}{3}(e^4 - e)$ Câu 12. Để tìm độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. - Vectơ $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh B. - Vectơ $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh C. Bước 2: Tính vectơ $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$. - Ta có $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$. Bước 3: Xác định độ dài của vectơ $\overrightarrow{CB}$. - Độ dài của vectơ $\overrightarrow{CB}$ là độ dài của đoạn thẳng CB trong hình lập phương. Bước 4: Tính độ dài đoạn thẳng CB. - Trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài cạnh là 2, đoạn thẳng CB là đường chéo của mặt phẳng ABCD. - Độ dài của đường chéo CB trong hình vuông ABCD là $2\sqrt{2}$ (vì độ dài đường chéo của hình vuông cạnh a là $a\sqrt{2}$). Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$ là $2\sqrt{2}$. Đáp án đúng là: D. $2\sqrt{2}$. Câu 1. a) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là $G(\frac{1+(-2)+3}{3};\frac{-1+5+4}{3};\frac{0+3+9}{3})=G(\frac23;\frac83;4).$ b) Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}=(-2-1;5-(-1);3-0)=(-3;6;3).$ c) Số đo góc $\widehat{BAC}=\cos^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{CA}|}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{(-3;6;3)\cdot (-2;5;9)}{\sqrt{(-3)^2+6^2+3^2}\cdot \sqrt{(-2)^2+5^2+9^2}}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{6+30+27}{\sqrt{54}\cdot \sqrt{110}}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{63}{\sqrt{5940}}\right)\approx 47,1^0< 48^0.$ d) Để ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ hay $(-3;6;3)=(3-x;4-y;9-z)$ suy ra $x=6,y=-2,z=6.$ Vậy điểm D có tọa độ là $(6;-2;6).$