giải giúp mk

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Phương pháp này dựa trên công thức: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Trong bài toán này, ta chọn: \[ u = x \quad \text{và} \quad dv = e^{\frac{x}{3}} \, dx \] Từ đó, ta có: \[ du = dx \quad \text{và} \quad v = \int e^{\frac{x}{3}} \, dx \] Ta tính \( v \): \[ v = \int e^{\frac{x}{3}} \, dx \] Đặt \( t = \frac{x}{3} \), suy ra \( dt = \frac{1}{3} \, dx \) hoặc \( dx = 3 \, dt \). Do đó: \[ v = \int e^t \cdot 3 \, dt = 3 \int e^t \, dt = 3e^t = 3e^{\frac{x}{3}} \] Bây giờ, áp dụng công thức tích phân từng phần: \[ \int x e^{\frac{x}{3}} \, dx = x \cdot 3e^{\frac{x}{3}} - \int 3e^{\frac{x}{3}} \, dx \] Tính tiếp phần còn lại: \[ \int 3e^{\frac{x}{3}} \, dx = 3 \int e^{\frac{x}{3}} \, dx = 3 \cdot 3e^{\frac{x}{3}} = 9e^{\frac{x}{3}} \] Vậy: \[ \int x e^{\frac{x}{3}} \, dx = 3xe^{\frac{x}{3}} - 9e^{\frac{x}{3}} + C \] \[ = 3e^{\frac{x}{3}}(x - 3) + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{C. \frac{1}{3}(x - 3)e^{\frac{x}{3}} + C} \] Câu 88: Để tính $\int x \ln x \, dx$, ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Phương pháp này dựa trên công thức: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Bước 1: Chọn $u$ và $dv$. - Ta chọn $u = \ln x$ và $dv = x \, dx$. Bước 2: Tính $du$ và $v$. - Tính $du$: $du = \frac{d(\ln x)}{dx} \, dx = \frac{1}{x} \, dx$ - Tính $v$: $v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}$ Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần. \[ \int x \ln x \, dx = \left( \ln x \right) \left( \frac{x^2}{2} \right) - \int \left( \frac{x^2}{2} \right) \left( \frac{1}{x} \right) \, dx \] \[ = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx \] \[ = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x}{2} \, dx \] \[ = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx \] \[ = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C \] \[ = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C \] Vậy đáp án đúng là: A. $\frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$ Đáp án: A. $\frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$ Câu 89: Để tìm nguyên hàm của \( f(x) = \frac{x}{\cos^2 x} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Bước 1: Xác định u và dv Chúng ta chọn: \[ u = x \] \[ dv = \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \sec^2 x \, dx \] Bước 2: Tính du và v \[ du = dx \] \[ v = \int \sec^2 x \, dx = \tan x \] Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần Công thức tích phân từng phần là: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Áp dụng vào bài toán: \[ \int \frac{x}{\cos^2 x} \, dx = x \tan x - \int \tan x \, dx \] Bước 4: Tính nguyên hàm của \(\tan x\) \[ \int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx \] Chúng ta thực hiện phép thay đổi biến \( t = \cos x \), do đó \( dt = -\sin x \, dx \): \[ \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = -\int \frac{dt}{t} = -\ln |t| + C = -\ln |\cos x| + C \] Bước 5: Kết hợp lại \[ \int \frac{x}{\cos^2 x} \, dx = x \tan x - (-\ln |\cos x|) + C = x \tan x + \ln |\cos x| + C \] Vậy nguyên hàm của \( f(x) = \frac{x}{\cos^2 x} \) là: \[ x \tan x + \ln |\cos x| + C \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( x \tan x + \ln |\cos x| \) Đáp số: C. \( x \tan x + \ln |\cos x| \) Câu 90: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^{-x} \cos x \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Bước 1: Xác định u và dv. - Chọn \( u = \cos x \) và \( dv = e^{-x} dx \). Bước 2: Tính du và v. - \( du = -\sin x \, dx \) - \( v = -e^{-x} \) Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Áp dụng vào bài toán: \[ \int e^{-x} \cos x \, dx = -e^{-x} \cos x - \int (-e^{-x})(-\sin x) \, dx \] \[ = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x \, dx \] Bước 4: Tích phân từng phần lần thứ hai. - Chọn \( u = \sin x \) và \( dv = e^{-x} dx \). - \( du = \cos x \, dx \) - \( v = -e^{-x} \) Áp dụng công thức tích phân từng phần: \[ \int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \sin x - \int (-e^{-x}) \cos x \, dx \] \[ = -e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x \, dx \] Bước 5: Gọi \( I = \int e^{-x} \cos x \, dx \). Thay vào phương trình: \[ I = -e^{-x} \cos x - (-e^{-x} \sin x + I) \] \[ I = -e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x - I \] Bước 6: Giải phương trình để tìm \( I \): \[ 2I = -e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x \] \[ I = \frac{1}{2} (-e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x) \] \[ I = -\frac{1}{2} e^{-x} (\cos x - \sin x) \] Bước 7: Viết kết quả cuối cùng: \[ \int e^{-x} \cos x \, dx = -\frac{1}{2} e^{-x} (\cos x - \sin x) + C \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( F(x) = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C \) Đáp án: C. \( F(x) = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C \) Câu 91: Để tính nguyên hàm $\int \ln x \, dx$, ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Ta đặt: \[ u = \ln x \quad \text{và} \quad dv = dx \] Từ đó suy ra: \[ du = \frac{1}{x} \, dx \quad \text{và} \quad v = x \] Áp dụng công thức tích phân từng phần: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Ta có: \[ \int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx \] \[ = x \ln x - \int 1 \, dx \] \[ = x \ln x - x + C \] Vậy nguyên hàm của $\int \ln x \, dx$ là: \[ x \ln x - x + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. $x \ln x - x + C$ Câu 92: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( y = \int \frac{(x^2 + x) e^2}{x + e^2} \, dx \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức trong tích phân: \[ \frac{(x^2 + x) e^2}{x + e^2} = \frac{x(x + 1) e^2}{x + e^2} \] Bước 2: Ta thấy rằng \( x + e^2 \) ở mẫu có thể làm phức tạp việc tích phân. Do đó, ta sẽ thực hiện phép chia đa thức để đơn giản hóa biểu thức: \[ \frac{x(x + 1) e^2}{x + e^2} = \frac{x^2 e^2 + x e^2}{x + e^2} \] Ta thực hiện phép chia: \[ x^2 e^2 + x e^2 = (x + e^2)(x e^2 - e^4) + e^6 \] \[ \frac{x^2 e^2 + x e^2}{x + e^2} = x e^2 - e^4 + \frac{e^6}{x + e^2} \] Bước 3: Tích phân từng phần: \[ \int \left( x e^2 - e^4 + \frac{e^6}{x + e^2} \right) \, dx \] Tích phân từng phần: \[ \int x e^2 \, dx = e^2 \int x \, dx = e^2 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2 e^2}{2} \] \[ \int -e^4 \, dx = -e^4 x \] \[ \int \frac{e^6}{x + e^2} \, dx = e^6 \int \frac{1}{x + e^2} \, dx = e^6 \ln |x + e^2| \] Bước 4: Kết hợp lại: \[ \int \frac{(x^2 + x) e^2}{x + e^2} \, dx = \frac{x^2 e^2}{2} - e^4 x + e^6 \ln |x + e^2| + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ F(x) = \frac{x^2 e^2}{2} - e^4 x + e^6 \ln |x + e^2| + C \] Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, không có đáp án nào đúng theo kết quả trên. Vì vậy, có thể có lỗi trong đề bài hoặc các lựa chọn đã cho. Câu 93: Để tính nguyên hàm của hàm số $I=\int\cos2x.\ln(\sin x+\cos x)dx$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Bước 1: Xác định u và dv - Chọn $u = \ln(\sin x + \cos x)$ - Chọn $dv = \cos 2x dx$ Bước 2: Tính du và v - $du = \frac{d}{dx}[\ln(\sin x + \cos x)] dx = \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x} dx$ - $v = \int \cos 2x dx = \frac{1}{2}\sin 2x$ Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần \[ I = uv - \int v du \] \[ I = \ln(\sin x + \cos x) \cdot \frac{1}{2}\sin 2x - \int \frac{1}{2}\sin 2x \cdot \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x} dx \] Bước 4: Tính tích phân $\int \frac{1}{2}\sin 2x \cdot \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x} dx$ - Ta có $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ - Do đó: \[ \int \frac{1}{2}\sin 2x \cdot \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x} dx = \int \frac{1}{2} \cdot 2 \sin x \cos x \cdot \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x} dx \] \[ = \int \sin x \cos x \cdot \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x} dx \] Bước 5: Đơn giản hóa biểu thức trong tích phân \[ \sin x \cos x \cdot \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x} = \frac{\sin x \cos^2 x - \sin^2 x \cos x}{\sin x + \cos x} \] \[ = \frac{\sin x \cos x (\cos x - \sin x)}{\sin x + \cos x} \] Bước 6: Tích phân từng phần tiếp tục \[ \int \frac{\sin x \cos x (\cos x - \sin x)}{\sin x + \cos x} dx = \int \left( \frac{\sin x \cos x (\cos x - \sin x)}{\sin x + \cos x} \right) dx \] Bước 7: Kết hợp lại để tìm nguyên hàm \[ I = \frac{1}{2} \sin 2x \ln(\sin x + \cos x) - \int \frac{\sin x \cos x (\cos x - \sin x)}{\sin x + \cos x} dx \] Bước 8: Kiểm tra lại đáp án Ta thấy rằng đáp án đúng là: \[ F(x) = \frac{1}{4}(1 + \sin 2x) \ln(1 + \sin 2x) - \frac{1}{4} \sin 2x + C \] Vậy đáp án đúng là: C. $F(x) = \frac{1}{4}(1 + \sin 2x) \ln(1 + \sin 2x) - \frac{1}{4} \sin 2x + C$ Câu 94: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( I = \int (x - 2) \sin(3x) \, dx \), ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Phương pháp tích phân từng phần dựa trên công thức: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Chúng ta chọn: \[ u = x - 2 \] \[ dv = \sin(3x) \, dx \] Từ đó, ta có: \[ du = dx \] \[ v = -\frac{1}{3} \cos(3x) \] Áp dụng công thức tích phân từng phần: \[ I = \int (x - 2) \sin(3x) \, dx = (x - 2) \left(-\frac{1}{3} \cos(3x)\right) - \int \left(-\frac{1}{3} \cos(3x)\right) \, dx \] \[ I = -\frac{(x - 2) \cos(3x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos(3x) \, dx \] Tiếp theo, ta tính nguyên hàm của \(\cos(3x)\): \[ \int \cos(3x) \, dx = \frac{1}{3} \sin(3x) \] Do đó: \[ I = -\frac{(x - 2) \cos(3x)}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \sin(3x) + C \] \[ I = -\frac{(x - 2) \cos(3x)}{3} + \frac{1}{9} \sin(3x) + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( I = \int (x - 2) \sin(3x) \, dx \) là: \[ F(x) = -\frac{(x - 2) \cos(3x)}{3} + \frac{1}{9} \sin(3x) + C \] Đáp án đúng là: A. \( F(x) = -\frac{(x - 2) \cos(3x)}{3} + \frac{1}{9} \sin(3x) + C \) Câu 95: Để tính nguyên hàm của hàm số \( I = \int x^3 \ln x \, dx \), ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Phương pháp này dựa trên công thức: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Bước 1: Chọn \( u \) và \( dv \): - \( u = \ln x \) - \( dv = x^3 \, dx \) Bước 2: Tính \( du \) và \( v \): - \( du = \frac{1}{x} \, dx \) - \( v = \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \) Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần: \[ I = \int x^3 \ln x \, dx = \left( \ln x \right) \left( \frac{x^4}{4} \right) - \int \left( \frac{x^4}{4} \right) \left( \frac{1}{x} \right) \, dx \] \[ I = \frac{x^4}{4} \ln x - \int \frac{x^4}{4x} \, dx \] \[ I = \frac{x^4}{4} \ln x - \int \frac{x^3}{4} \, dx \] \[ I = \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{1}{4} \int x^3 \, dx \] \[ I = \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^4}{4} + C \] \[ I = \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{x^4}{16} + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( I = \int x^3 \ln x \, dx \) là: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{x^4}{16} + C \] Do đó, đáp án đúng là: D. \( F(x) = \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{x^4}{16} + C \) Câu 96: Để tính tích phân \( H = \int x \cdot 3^x \, dx \), ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Phương pháp này dựa trên công thức: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Trong đó: - \( u = x \) - \( dv = 3^x \, dx \) Bước 1: Xác định \( u \) và \( dv \): - \( u = x \) - \( dv = 3^x \, dx \) Bước 2: Tính \( du \) và \( v \): - \( du = dx \) - \( v = \int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln(3)} \) Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần: \[ H = \int x \cdot 3^x \, dx = x \cdot \frac{3^x}{\ln(3)} - \int \frac{3^x}{\ln(3)} \, dx \] Bước 4: Tính tích phân còn lại: \[ \int \frac{3^x}{\ln(3)} \, dx = \frac{1}{\ln(3)} \int 3^x \, dx = \frac{1}{\ln(3)} \cdot \frac{3^x}{\ln(3)} = \frac{3^x}{(\ln(3))^2} \] Bước 5: Kết hợp các kết quả lại: \[ H = x \cdot \frac{3^x}{\ln(3)} - \frac{3^x}{(\ln(3))^2} + C \] Vậy, tích phân \( H = \int x \cdot 3^x \, dx \) là: \[ H = \frac{x \cdot 3^x}{\ln(3)} - \frac{3^x}{(\ln(3))^2} + C \] Đáp số: \[ H = \frac{x \cdot 3^x}{\ln(3)} - \frac{3^x}{(\ln(3))^2} + C \]