Giúp mình với ạ Câu 4. Trong không gian xét một hệ trục toạ độ Oxyz với đơn vị trên mỗi trục lấy theo mét. Một chiếc máy bay,không người lái (drone) xuất phát từ điểm O và bay với tốc độ không đổi, vectơ thể hiện độ dịch chuyển,của máy bay sau mỗi giây là $\overrightarrow u=(6;8;2).$ Cùng thời điểm, chiếc máy bay không người lái thứ hai xuất,phát từ điểm $A(24;12;18)$ và bay với tốc độ không đổi, vectơ thể hiện độ dịch chuyển của máy bay sau,mỗi giây là $\widehat y=(-2;4;-4).$,,a) Chiếc máy bay thứ nhất di chuyển trên đường thẳng có phương trình là $\frac x3=\frac y4=\frac z1$,b) Sau khi xuất phát được t giây, vị trí của chiếc máy bay thứ hai là,$(24-t;12+2t;18-2t)$,c) Sau khi xuất phát được t giây, khoảng cách giữa hai chiếc máy bay là $\sqrt{116(t^2-6t+9)}$,d) Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai chiếc máy bay là $\sqrt{116}$ mét.

Question

Giúp mình với ạ Câu 4. Trong không gian xét một hệ trục toạ độ Oxyz với đơn vị trên mỗi trục lấy theo mét. Một chiếc máy bay,không người lái (drone) xuất phát từ điểm O và bay với tốc độ không đổi, vectơ thể hiện độ dịch chuyển,của máy bay sau mỗi giây là $\overrightarrow u=(6;8;2).$ Cùng thời điểm, chiếc máy bay không người lái thứ hai xuất,phát từ điểm $A(24;12;18)$ và bay với tốc độ không đổi, vectơ thể hiện độ dịch chuyển của máy bay sau,mỗi giây là $\widehat y=(-2;4;-4).$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/2203cfb69e8d4251b7ed9a70581b23cd.jpg />,a) Chiếc máy bay thứ nhất di chuyển trên đường thẳng có phương trình là $\frac x3=\frac y4=\frac z1$,b) Sau khi xuất phát được t giây, vị trí của chiếc máy bay thứ hai là,$(24-t;12+2t;18-2t)$,c) Sau khi xuất phát được t giây, khoảng cách giữa hai chiếc máy bay là $\sqrt{116(t^2-6t+9)}$,d) Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai chiếc máy bay là $\sqrt{116}$ mét.

Accepted Answer

Câu 4.
a) Chiếc máy bay thứ nhất di chuyển trên đường thẳng có phương trình là $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{1}$

Để chứng minh điều này, ta cần kiểm tra xem vectơ $\overrightarrow{u} = (6; 8; 2)$ có cùng phương với vectơ $(3; 4; 1)$ hay không.

Ta thấy rằng:
$$ \overrightarrow{u} = 2 \cdot (3; 4; 1) $$

Do đó, vectơ $\overrightarrow{u}$ và vectơ $(3; 4; 1)$ cùng phương. Vậy chiếc máy bay thứ nhất di chuyển trên đường thẳng có phương trình là $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{1}$.

b) Sau khi xuất phát được t giây, vị trí của chiếc máy bay thứ hai là $(24 - t; 12 + 2t; 18 - 2t)$

Chiếc máy bay thứ hai xuất phát từ điểm $A(24; 12; 18)$ và bay với vectơ độ dịch chuyển là $\overrightarrow{v} = (-2; 4; -4)$. Sau t giây, vị trí của máy bay thứ hai sẽ là:
$$ A + t \cdot \overrightarrow{v} = (24; 12; 18) + t \cdot (-2; 4; -4) = (24 - 2t; 12 + 4t; 18 - 4t) $$

c) Sau khi xuất phát được t giây, khoảng cách giữa hai chiếc máy bay là $\sqrt{116(t^2 - 6t + 9)}$

Sau t giây, vị trí của chiếc máy bay thứ nhất là:
$$ (6t; 8t; 2t) $$

Vị trí của chiếc máy bay thứ hai là:
$$ (24 - 2t; 12 + 4t; 18 - 4t) $$

Khoảng cách giữa hai máy bay là:
$$ d = \sqrt{(6t - (24 - 2t))^2 + (8t - (12 + 4t))^2 + (2t - (18 - 4t))^2} $$
$$ d = \sqrt{(6t - 24 + 2t)^2 + (8t - 12 - 4t)^2 + (2t - 18 + 4t)^2} $$
$$ d = \sqrt{(8t - 24)^2 + (4t - 12)^2 + (6t - 18)^2} $$
$$ d = \sqrt{64t^2 - 384t + 576 + 16t^2 - 96t + 144 + 36t^2 - 216t + 324} $$
$$ d = \sqrt{116t^2 - 696t + 1044} $$
$$ d = \sqrt{116(t^2 - 6t + 9)} $$

d) Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai chiếc máy bay là $\sqrt{116}$ mét

Để tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $t^2 - 6t + 9$. Biểu thức này là một tam thức bậc hai và có dạng $(t - 3)^2$, do đó giá trị nhỏ nhất của nó là 0 khi $t = 3$.

Khi đó, khoảng cách nhỏ nhất là:
$$ d_{\text{min}} = \sqrt{116 \cdot 0} = \sqrt{116} $$

Vậy khoảng cách nhỏ nhất giữa hai chiếc máy bay là $\sqrt{116}$ mét.