Giúp em với ạ

Câu 3. a) Ta có $F'(x)=2x+3\cos x=f(x).$ Vậy $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x).$ b) Ta có $F'(\frac\pi2)=2\times\frac\pi2-3\cos\frac\pi2=\pi\neq3.$ Vậy $F(x)$ không thoả mãn điều kiện $F(\frac\pi2)=3.$ c) Ta có $f'(x)=2+3\sin x=g(x).$ Vậy $f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x).$ d) Ta có $f'(x)=2+3\sin x=k(x).e^x.$ Suy ra $k(x)=(2+3\sin x).e^{-x}.$ Do đó $k'(x)=3\cos x.e^{-x}-(2+3\sin x).e^{-x}=(-2+3\cos x-3\sin x).e^{-x}.$ Suy ra $\int^{\frac\pi2}_0k^\prime(x).e^xdx=\int^{\frac\pi2}_0(-2+3\cos x-3\sin x)dx=[-2x+3\sin x+3\cos x]^{\frac\pi2}_0=-\pi.$ Vậy d sai. Câu 4. a) Số tiền A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm cho B là: \[ P(10) = 45 - 0,001 \cdot 10^2 = 45 - 0,001 \cdot 100 = 45 - 0,1 = 44,9 \text{ (triệu đồng/tấn)} \] Số tiền A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm cho B là: \[ 10 \times 44,9 = 449 \text{ (triệu đồng)} \] b) Lợi nhuận mà A thu được khi bán x tấn sản phẩm là: \[ H(x) = x \cdot P(x) - C(x) \] \[ H(x) = x \cdot (45 - 0,001x^2) - (100 + 30x) \] \[ H(x) = 45x - 0,001x^3 - 100 - 30x \] \[ H(x) = -0,001x^3 + 15x - 100 \] c) Để tìm giá trị của x sao cho lợi nhuận H(x) đạt giá trị nhỏ nhất, ta tính đạo hàm của H(x): \[ H'(x) = -0,003x^2 + 15 \] Đặt H'(x) = 0 để tìm điểm cực trị: \[ -0,003x^2 + 15 = 0 \] \[ 0,003x^2 = 15 \] \[ x^2 = \frac{15}{0,003} = 5000 \] \[ x = \sqrt{5000} \approx 70,7 \text{ (tấn)} \] d) Chi phí để A sản xuất 10 tấn sản phẩm trong một tháng là: \[ C(10) = 100 + 30 \cdot 10 = 100 + 300 = 400 \text{ (triệu đồng)} \] Đáp án đúng là: a) 449 triệu đồng b) \( H(x) = -0,001x^3 + 15x - 100 \) c) 70,7 tấn d) 400 triệu đồng Câu 1. Để tính quãng đường mà ô tô di chuyển được từ thời điểm \( t = 0 \) đến thời điểm \( t = 9 \), ta cần tính tích phân của vận tốc theo thời gian trong khoảng từ 0 đến 9. Bước 1: Xác định vận tốc \( v(t) \): \[ v(t) = 27 - 9\sqrt{t} \] Bước 2: Tính quãng đường \( s \) bằng cách tích phân vận tốc \( v(t) \) từ \( t = 0 \) đến \( t = 9 \): \[ s = \int_{0}^{9} v(t) \, dt = \int_{0}^{9} (27 - 9\sqrt{t}) \, dt \] Bước 3: Thực hiện tích phân từng phần: \[ \int_{0}^{9} (27 - 9\sqrt{t}) \, dt = \int_{0}^{9} 27 \, dt - \int_{0}^{9} 9\sqrt{t} \, dt \] Tích phân từng phần: \[ \int_{0}^{9} 27 \, dt = 27t \Big|_{0}^{9} = 27(9) - 27(0) = 243 \] \[ \int_{0}^{9} 9\sqrt{t} \, dt = 9 \int_{0}^{9} t^{\frac{1}{2}} \, dt = 9 \left[ \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{9} = 9 \left( \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} \right) = 9 \left( \frac{2}{3} \cdot 27 \right) = 9 \cdot 18 = 162 \] Bước 4: Kết hợp kết quả của hai tích phân: \[ s = 243 - 162 = 81 \] Vậy quãng đường mà ô tô di chuyển được từ thời điểm \( t = 0 \) đến thời điểm \( t = 9 \) là 81 mét. Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tối ưu hóa chi phí bằng cách tìm vị trí C trên đoạn AB' sao cho tổng chi phí xây dựng đường ống từ A đến B qua C là nhỏ nhất. 1. Xác định các đại lượng: - Khoảng cách từ A đến B' là 9 km. - Khoảng cách từ B' đến B là 6 km. - Chi phí xây dựng trên bờ là 50.000 USD/km. - Chi phí xây dựng dưới nước là 130.000 USD/km. 2. Gọi ẩn số: - Gọi khoảng cách từ A đến C là \( x \) km (0 ≤ \( x \) ≤ 9). 3. Tính khoảng cách từ C đến B: - Khoảng cách từ C đến B' là \( 9 - x \) km. - Khoảng cách từ C đến B là \( \sqrt{(9 - x)^2 + 6^2} = \sqrt{(9 - x)^2 + 36} \) km. 4. Lập biểu thức chi phí: - Chi phí xây dựng trên bờ từ A đến C là \( 50.000x \) USD. - Chi phí xây dựng dưới nước từ C đến B là \( 130.000 \times \sqrt{(9 - x)^2 + 36} \) USD. - Tổng chi phí là: \[ f(x) = 50.000x + 130.000 \sqrt{(9 - x)^2 + 36} \] 5. Tìm giá trị cực tiểu của \( f(x) \): - Để tìm giá trị cực tiểu của \( f(x) \), chúng ta tính đạo hàm \( f'(x) \) và giải phương trình \( f'(x) = 0 \). \[ f'(x) = 50.000 + 130.000 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{-2(9 - x)}{\sqrt{(9 - x)^2 + 36}} \] \[ f'(x) = 50.000 - 130.000 \cdot \frac{9 - x}{\sqrt{(9 - x)^2 + 36}} \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ 50.000 = 130.000 \cdot \frac{9 - x}{\sqrt{(9 - x)^2 + 36}} \] \[ \frac{50.000}{130.000} = \frac{9 - x}{\sqrt{(9 - x)^2 + 36}} \] \[ \frac{5}{13} = \frac{9 - x}{\sqrt{(9 - x)^2 + 36}} \] Bình phương cả hai vế: \[ \left(\frac{5}{13}\right)^2 = \left(\frac{9 - x}{\sqrt{(9 - x)^2 + 36}}\right)^2 \] \[ \frac{25}{169} = \frac{(9 - x)^2}{(9 - x)^2 + 36} \] Nhân cả hai vế với \((9 - x)^2 + 36\): \[ 25((9 - x)^2 + 36) = 169(9 - x)^2 \] \[ 25(81 - 18x + x^2 + 36) = 169(81 - 18x + x^2) \] \[ 25(117 - 18x + x^2) = 169(81 - 18x + x^2) \] \[ 2925 - 450x + 25x^2 = 13761 - 3042x + 169x^2 \] \[ 0 = 144x^2 - 2592x + 10836 \] \[ x^2 - 18x + 75 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 - 4 \cdot 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 300}}{2} \] \[ x = \frac{18 \pm \sqrt{24}}{2} \] \[ x = \frac{18 \pm 2\sqrt{6}}{2} \] \[ x = 9 \pm \sqrt{6} \] Vì \( 0 \leq x \leq 9 \), ta chọn \( x = 9 - \sqrt{6} \). 6. Kết luận: - Vị trí C cách A một đoạn \( 9 - \sqrt{6} \) km. Đáp số: \( 9 - \sqrt{6} \) km.