........,..,..

Câu 1. Để giải quyết các phát biểu trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một dựa trên các tính chất của hình bình hành và các phép toán vector trong không gian. a) $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ - Tính $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 2, 1 + 1, 2 + 2) = (1, 2, 4) \] - Tính $\overrightarrow{DC}$: \[ \overrightarrow{DC} = C - D = (1 - x_D, -1 - y_D, 1 - z_D) \] Để $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, ta cần: \[ (1, 2, 4) = (1 - x_D, -1 - y_D, 1 - z_D) \] So sánh từng thành phần: \[ 1 = 1 - x_D \Rightarrow x_D = 0 \] \[ 2 = -1 - y_D \Rightarrow y_D = -3 \] \[ 4 = 1 - z_D \Rightarrow z_D = -3 \] Như vậy, nếu $D = (0, -3, -3)$ thì $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. b) $D = (0, 3, 3)$ - Kiểm tra lại các thành phần: \[ 1 = 1 - x_D \Rightarrow x_D = 0 \] \[ 2 = -1 - y_D \Rightarrow y_D = -3 \] \[ 4 = 1 - z_D \Rightarrow z_D = -3 \] Như vậy, $D = (0, -3, -3)$, không phải $(0, 3, 3)$. Phát biểu này sai. c) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD}$ - Tính $\overrightarrow{AD}$: \[ \overrightarrow{AD} = D - A = (x_D - 2, y_D + 1, z_D + 2) \] - Tính $\overrightarrow{BD}$: \[ \overrightarrow{BD} = D - B = (x_D - 3, y_D - 1, z_D - 2) \] Theo tính chất hình bình hành, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$, nhưng không phải $\overrightarrow{BD}$. Phát biểu này sai. d) $\overrightarrow{DC} = (1 - x_D, -1 - y_D, 1 - z_D)$ - Ta đã tính $\overrightarrow{DC}$ ở phần a): \[ \overrightarrow{DC} = (1 - x_D, -1 - y_D, 1 - z_D) \] Phát biểu này đúng. Kết luận: a) Đúng nếu $D = (0, -3, -3)$. b) Sai. c) Sai. d) Đúng. Câu 2. a) Ta xét xem ba véc tơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ có đồng phẳng hay không bằng cách kiểm tra xem có tồn tại các số thực $k_1, k_2$ sao cho $\overrightarrow c = k_1 \overrightarrow a + k_2 \overrightarrow b$. Ta có: \[ (3, -2, 4) = k_1 (2, 3, 1) + k_2 (5, 7, 0) \] Từ đó ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 3 = 2k_1 + 5k_2 \\ -2 = 3k_1 + 7k_2 \\ 4 = k_1 \end{cases} \] Thay $k_1 = 4$ vào phương trình đầu tiên: \[ 3 = 2(4) + 5k_2 \Rightarrow 3 = 8 + 5k_2 \Rightarrow 5k_2 = -5 \Rightarrow k_2 = -1 \] Kiểm tra lại với phương trình thứ hai: \[ -2 = 3(4) + 7(-1) \Rightarrow -2 = 12 - 7 \Rightarrow -2 = 5 \text{ (sai)} \] Vậy không tồn tại $k_1, k_2$ thỏa mãn, do đó ba véc tơ $\overrightarrow a, \overrightarrow b, \overrightarrow c$ không đồng phẳng. Đáp án: Đúng b) Ta kiểm tra xem liệu $2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b$ có bằng $\overrightarrow d$ và $2\overrightarrow c$ hay không. \[ 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b = 2(2, 3, 1) + 3(5, 7, 0) = (4, 6, 2) + (15, 21, 0) = (19, 27, 2) \] \[ 2\overrightarrow c = 2(3, -2, 4) = (6, -4, 8) \] \[ \overrightarrow d = (4, 12, -3) \] Rõ ràng $(19, 27, 2) \neq (4, 12, -3)$ và $(19, 27, 2) \neq (6, -4, 8)$. Đáp án: Sai c) Ta tính $|\overrightarrow a + \overrightarrow b|$ và $|\overrightarrow d + \overrightarrow c|$. \[ \overrightarrow a + \overrightarrow b = (2, 3, 1) + (5, 7, 0) = (7, 10, 1) \] \[ |\overrightarrow a + \overrightarrow b| = \sqrt{7^2 + 10^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 100 + 1} = \sqrt{150} \] \[ \overrightarrow d + \overrightarrow c = (4, 12, -3) + (3, -2, 4) = (7, 10, 1) \] \[ |\overrightarrow d + \overrightarrow c| = \sqrt{7^2 + 10^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 100 + 1} = \sqrt{150} \] Vậy $|\overrightarrow a + \overrightarrow b| = |\overrightarrow d + \overrightarrow c|$. Đáp án: Đúng d) Ta kiểm tra xem liệu $\overrightarrow d$ có bằng $\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c$ hay không. \[ \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = (2, 3, 1) + (5, 7, 0) + (3, -2, 4) = (10, 8, 5) \] \[ \overrightarrow d = (4, 12, -3) \] Rõ ràng $(10, 8, 5) \neq (4, 12, -3)$. Đáp án: Sai Câu 1. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^2 + \frac{2}{x}$ trên đoạn $\left[\frac{1}{2}; 2\right]$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ y' = \frac{d}{dx}\left(x^2 + \frac{2}{x}\right) = 2x - \frac{2}{x^2} \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ y' = 0 \] \[ 2x - \frac{2}{x^2} = 0 \] \[ 2x = \frac{2}{x^2} \] \[ x^3 = 1 \] \[ x = 1 \] Bước 3: Kiểm tra các giá trị tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn - Tại $x = 1$: \[ y(1) = 1^2 + \frac{2}{1} = 1 + 2 = 3 \] - Tại $x = \frac{1}{2}$: \[ y\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{2}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} + 4 = 4.25 \] - Tại $x = 2$: \[ y(2) = 2^2 + \frac{2}{2} = 4 + 1 = 5 \] Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất Các giá trị của hàm số tại các điểm đã kiểm tra là: - $y(1) = 3$ - $y\left(\frac{1}{2}\right) = 4.25$ - $y(2) = 5$ Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là 3, đạt được khi $x = 1$. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^2 + \frac{2}{x}$ trên đoạn $\left[\frac{1}{2}; 2\right]$ là 3, đạt được khi $x = 1$. Câu 2. Để tìm hình chiếu của điểm \( M(3; -7; 4) \) trên trục Oy, ta cần xác định tọa độ của điểm \( H \) sao cho nó nằm trên trục Oy và có cùng tọa độ y với điểm \( M \). Trên trục Oy, tọa độ x và z đều bằng 0. Do đó, tọa độ của điểm \( H \) sẽ là \( (0; -7; 0) \). Vậy ta có: - \( a = 0 \) - \( b = -7 \) - \( c = 0 \) Tính giá trị của \( a + b + c \): \[ a + b + c = 0 + (-7) + 0 = -7 \] Đáp số: \( a + b + c = -7 \). Câu 3. Để tính tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo, ta cần biết vận tốc và hướng của máy bay. Bước 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B. - Tọa độ của điểm A là (800; 500; 7). - Tọa độ của điểm B là (940; 550; 8). Khoảng cách giữa hai điểm A và B: \[ AB = \sqrt{(940 - 800)^2 + (550 - 500)^2 + (8 - 7)^2} \] \[ AB = \sqrt{140^2 + 50^2 + 1^2} \] \[ AB = \sqrt{19600 + 2500 + 1} \] \[ AB = \sqrt{22101} \] Bước 2: Tính vận tốc của máy bay. - Thời gian máy bay di chuyển từ A đến B là 10 phút, tức là $\frac{1}{6}$ giờ. Vận tốc của máy bay: \[ v = \frac{AB}{\frac{1}{6}} = 6 \times \sqrt{22101} \] Bước 3: Xác định hướng của máy bay. - Vector từ A đến B là $\vec{AB} = (940 - 800, 550 - 500, 8 - 7) = (140, 50, 1)$. Bước 4: Tính tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo. - Thời gian tiếp theo là 10 phút nữa, tức là tổng thời gian là 20 phút, hay $\frac{1}{3}$ giờ. Tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo: \[ D = A + \vec{AB} \times \left(\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}\right) \] \[ D = (800, 500, 7) + (140, 50, 1) \times 2 \] \[ D = (800 + 280, 500 + 100, 7 + 2) \] \[ D = (1080, 600, 9) \] Bước 5: Tính giá trị \( x + y + z \). \[ x + y + z = 1080 + 600 + 9 = 1689 \] Đáp số: \( x + y + z = 1689 \). Câu 4. Để tìm khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số quả xoài: Tổng số quả xoài là 50. 2. Tìm số quả xoài thuộc khoảng tử phân vị: Khoảng tử phân vị là khoảng chứa 25% số quả xoài. Số quả xoài thuộc khoảng tử phân vị là: \[ 50 \times 0,25 = 12,5 \] Do đó, khoảng tử phân vị sẽ chứa 12 quả xoài đầu tiên và nửa quả xoài tiếp theo. 3. Xác định khoảng tử phân vị: - Nhóm [250; 290) có 2 quả xoài. - Nhóm [290; 330) có 12 quả xoài. Tổng số quả xoài trong hai nhóm đầu tiên là: \[ 2 + 12 = 14 \] Vì 12,5 nằm trong khoảng từ 2 đến 14, nên khoảng tử phân vị nằm trong nhóm [290; 330). 4. Tính giá trị tử phân vị: Giá trị tử phân vị nằm trong nhóm [290; 330). Ta tính giá trị tử phân vị bằng công thức: \[ Q_1 = L + \left( \frac{\frac{n}{4} - F_{k-1}}{f_k} \right) \times d \] Trong đó: - \( L \) là giới hạn dưới của nhóm chứa tử phân vị (ở đây là 290). - \( n \) là tổng số quả xoài (50). - \( F_{k-1} \) là tổng tần số của các nhóm trước nhóm chứa tử phân vị (ở đây là 2). - \( f_k \) là tần số của nhóm chứa tử phân vị (ở đây là 12). - \( d \) là khoảng cách giữa hai giới hạn của nhóm (ở đây là 40). Thay các giá trị vào công thức: \[ Q_1 = 290 + \left( \frac{12,5 - 2}{12} \right) \times 40 \] \[ Q_1 = 290 + \left( \frac{10,5}{12} \right) \times 40 \] \[ Q_1 = 290 + 0,875 \times 40 \] \[ Q_1 = 290 + 35 \] \[ Q_1 = 325 \] Vậy khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là khoảng từ 290 đến 330, và giá trị tử phân vị là 325 g.