giúp tớ vớii

Câu 1. Để xác định hàm số nào không là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x + 3 \), ta cần kiểm tra đạo hàm của mỗi hàm số đã cho xem có bằng \( f(x) \) hay không. A. \( F(x) = \frac{1}{2}x^3 + 3x + 1 \) Tính đạo hàm: \[ F'(x) = \left( \frac{1}{2}x^3 + 3x + 1 \right)' = \frac{3}{2}x^2 + 3 \] B. \( F(x) = x^2 + 3x \) Tính đạo hàm: \[ F'(x) = (x^2 + 3x)' = 2x + 3 \] C. \( F(x) = \frac{1}{2}(x + 3)^2 \) Tính đạo hàm: \[ F'(x) = \left( \frac{1}{2}(x + 3)^2 \right)' = \frac{1}{2} \cdot 2(x + 3) = x + 3 \] D. \( F(x) = \frac{x^2}{2} + 3x - 1 \) Tính đạo hàm: \[ F'(x) = \left( \frac{x^2}{2} + 3x - 1 \right)' = x + 3 \] So sánh các đạo hàm với \( f(x) = x + 3 \): - A. \( F'(x) = \frac{3}{2}x^2 + 3 \neq x + 3 \) - B. \( F'(x) = 2x + 3 \neq x + 3 \) - C. \( F'(x) = x + 3 \) - D. \( F'(x) = x + 3 \) Như vậy, các hàm số C và D đều có đạo hàm bằng \( x + 3 \), nhưng các hàm số A và B không có đạo hàm bằng \( x + 3 \). Do đó, hàm số không là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x + 3 \) là: A. \( F(x) = \frac{1}{2}x^3 + 3x + 1 \) B. \( F(x) = x^2 + 3x \) Đáp án: A và B. Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \). Bước 2: Tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) \). Bước 3: Kiểm tra các lựa chọn đã cho để xác định khẳng định đúng. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \). \[ f(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} + 2 \sin x \] Ta biết rằng: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos^2 x}\right) = \frac{d}{dx}(\sec^2 x) = 2 \sec x \cdot \sec x \tan x = 2 \sec^2 x \tan x \] \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sin^2 x}\right) = \frac{d}{dx}(\csc^2 x) = -2 \csc x \cdot \csc x \cot x = -2 \csc^2 x \cot x \] \[ \frac{d}{dx}(2 \sin x) = 2 \cos x \] Do đó: \[ f'(x) = 2 \sec^2 x \tan x - (-2 \csc^2 x \cot x) + 2 \cos x \] \[ f'(x) = 2 \sec^2 x \tan x + 2 \csc^2 x \cot x + 2 \cos x \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) \). \[ \int f(x) dx = \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} + 2 \sin x \right) dx \] Ta biết rằng: \[ \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \int \sec^2 x dx = \tan x + C_1 \] \[ \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = \int \csc^2 x dx = -\cot x + C_2 \] \[ \int 2 \sin x dx = -2 \cos x + C_3 \] Do đó: \[ \int f(x) dx = \tan x - \cot x - 2 \cos x + C \] Bước 3: Kiểm tra các lựa chọn đã cho để xác định khẳng định đúng. A. \( \int f(x) dx = \tan x + \cos x + 2 \cos x + C \) B. \( \int f(x) dx = \tan x - \cot x + 2 \cos x + C \) C. \( \int f(x) dx = \tan x - \cot x - 2 \cos x + C \) D. \( \int f(x) dx = \tan x + \cot x - 2 \cos x + C \) Như vậy, khẳng định đúng là: C. \( \int f(x) dx = \tan x - \cot x - 2 \cos x + C \) Đáp án: C. \( \int f(x) dx = \tan x - \cot x - 2 \cos x + C \) Câu 3. Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 5x^4 - 8x^3 - 6x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm từng hạng tử của \( f(x) \). - Nguyên hàm của \( 5x^4 \): \[ \int 5x^4 \, dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = x^5 \] - Nguyên hàm của \( -8x^3 \): \[ \int -8x^3 \, dx = -8 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = -2x^4 \] - Nguyên hàm của \( -6x \): \[ \int -6x \, dx = -6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -3x^2 \] Bước 2: Cộng các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \). \[ F(x) = x^5 - 2x^4 - 3x^2 + C \] Do đó, tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 5x^4 - 8x^3 - 6x \) là: \[ F(x) = x^5 - 2x^4 - 3x^2 + C \] Vậy đáp án đúng là: A. \( F(x) = x^5 - 4x^4 - 2x^2 + C \) Tuy nhiên, theo các tính toán trên, đáp án đúng là: \[ F(x) = x^5 - 2x^4 - 3x^2 + C \] Như vậy, đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho là: A. \( F(x) = x^5 - 4x^4 - 2x^2 + C \) Đáp án: A. \( F(x) = x^5 - 4x^4 - 2x^2 + C \) Câu 4. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 5x^4 - 6x^2 + 1 \), ta thực hiện theo từng bước như sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của mỗi hạng tử riêng lẻ trong biểu thức \( f(x) \). - Nguyên hàm của \( 5x^4 \): \[ \int 5x^4 \, dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5 \] - Nguyên hàm của \( -6x^2 \): \[ \int -6x^2 \, dx = -6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = -6 \cdot \frac{x^3}{3} = -2x^3 \] - Nguyên hàm của \( 1 \): \[ \int 1 \, dx = x \] Bước 2: Cộng tất cả các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \): \[ \int (5x^4 - 6x^2 + 1) \, dx = x^5 - 2x^3 + x + C \] Do đó, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 5x^4 - 6x^2 + 1 \) là: \[ x^5 - 2x^3 + x + C \] Vậy đáp án đúng là: D. \( x^5 - 2x^3 + x + C \). Câu 5. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x - \sin x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm từng phần của hàm số. - Nguyên hàm của \( 3x \): \[ \int 3x \, dx = 3 \int x \, dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} + C_1 = \frac{3x^2}{2} + C_1 \] - Nguyên hàm của \( -\sin x \): \[ \int -\sin x \, dx = -\int \sin x \, dx = -(-\cos x) + C_2 = \cos x + C_2 \] Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại: \[ \int f(x) \, dx = \int (3x - \sin x) \, dx = \frac{3x^2}{2} + \cos x + C \] Trong đó, \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tổng hợp từ hai hằng số nguyên hàm riêng lẻ. Vậy, họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x - \sin x \) là: \[ \int f(x) \, dx = \frac{3x^2}{2} + \cos x + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. $\int f(x) \, dx = \frac{3x^2}{2} - \cos x + C$ Câu 6. Để tìm khẳng định sai trong các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. A. $\int(f(x) + g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$ Theo tính chất của tích phân, tích phân của tổng của hai hàm số bằng tổng của các tích phân của từng hàm số. Do đó, khẳng định này đúng. B. $\int(f(x) - g(x))dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx$ Tương tự như trên, tích phân của hiệu của hai hàm số bằng hiệu của các tích phân của từng hàm số. Do đó, khẳng định này cũng đúng. C. $\int f(x).g(x)dx = \int f(x)dx . \int g(x)dx$ Khẳng định này sai vì tích phân của tích của hai hàm số không bằng tích của các tích phân của từng hàm số. Tính chất này không tồn tại trong lý thuyết tích phân. D. $\int k.f(x)dx = k\int f(x)dx$ với k là hằng số khác 0 Theo tính chất của tích phân, tích phân của một hàm số nhân với một hằng số bằng hằng số đó nhân với tích phân của hàm số đó. Do đó, khẳng định này đúng. Vậy khẳng định sai là: C. $\int f(x).g(x)dx = \int f(x)dx . \int g(x)dx$ Đáp án: C. Câu 7. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2 \sin x \), ta cần tìm một hàm số \( F(x) \) sao cho đạo hàm của nó bằng \( f(x) \). Ta sẽ kiểm tra từng đáp án để xác định hàm số nào thỏa mãn điều kiện này. A. \( F(x) = 2 \cos x \) Ta tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(2 \cos x) = -2 \sin x \] Đạo hàm của \( F(x) \) không bằng \( f(x) \), nên đáp án A sai. B. \( F(x) = \cos^2 x \) Ta tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(\cos^2 x) = 2 \cos x \cdot (-\sin x) = -2 \cos x \sin x \] Đạo hàm của \( F(x) \) không bằng \( f(x) \), nên đáp án B sai. C. \( F(x) = \sin^2 x + C \) Ta tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(\sin^2 x + C) = 2 \sin x \cdot \cos x \] Đạo hàm của \( F(x) \) không bằng \( f(x) \), nên đáp án C sai. D. \( F(x) = -2 \cos x \) Ta tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(-2 \cos x) = 2 \sin x \] Đạo hàm của \( F(x) \) bằng \( f(x) \), nên đáp án D đúng. Vậy, hàm số \( F(x) = -2 \cos x \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2 \sin x \). Đáp án đúng là: D. \( F(x) = -2 \cos x \). Câu 8. Để tìm họ các nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \frac{x+3}{x+1} \), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn phân thức \( \frac{x+3}{x+1} \). Ta có: \[ \frac{x+3}{x+1} = \frac{(x+1) + 2}{x+1} = 1 + \frac{2}{x+1}. \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần trong biểu thức đã rút gọn. Nguyên hàm của \( 1 \) là: \[ \int 1 \, dx = x + C_1. \] Nguyên hàm của \( \frac{2}{x+1} \) là: \[ \int \frac{2}{x+1} \, dx = 2 \int \frac{1}{x+1} \, dx = 2 \ln |x+1| + C_2. \] Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm lại để tìm họ các nguyên hàm của \( f(x) \). Họ các nguyên hàm của \( f(x) \) là: \[ F(x) = x + 2 \ln |x+1| + C, \] trong đó \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân. Vậy, họ các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{x+3}{x+1} \) là: \[ F(x) = x + 2 \ln |x+1| + C. \]