Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn ca-ab-bc = 0 Tính C = (a-b)(b-c)(c-a)/ abc

Ta có: \[ ca - ab - bc = 0 \] Nhân cả hai vế với \( a \): \[ a(ca - ab - bc) = 0 \] \[ a^2c - a^2b - abc = 0 \] \[ a^2c = a^2b + abc \quad \text{(1)} \] Nhân cả hai vế với \( b \): \[ b(ca - ab - bc) = 0 \] \[ abc - ab^2 - b^2c = 0 \] \[ abc = ab^2 + b^2c \quad \text{(2)} \] Nhân cả hai vế với \( c \): \[ c(ca - ab - bc) = 0 \] \[ c^2a - cab - c^2b = 0 \] \[ c^2a = cab + c^2b \quad \text{(3)} \] Bây giờ, ta sẽ tính \( C = \frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{abc} \). Nhân \( (a-b) \) với \( (b-c) \): \[ (a-b)(b-c) = ab - ac - b^2 + bc \] Nhân tiếp với \( (c-a) \): \[ (ab - ac - b^2 + bc)(c-a) = abc - a^2b - ac^2 + a^2c - b^2c + ab^2 + bc^2 - abc \] \[ = -a^2b - ac^2 + a^2c - b^2c + ab^2 + bc^2 \] Chia cho \( abc \): \[ C = \frac{-a^2b - ac^2 + a^2c - b^2c + ab^2 + bc^2}{abc} \] Chia từng hạng tử: \[ C = \frac{-a^2b}{abc} + \frac{-ac^2}{abc} + \frac{a^2c}{abc} + \frac{-b^2c}{abc} + \frac{ab^2}{abc} + \frac{bc^2}{abc} \] \[ = \frac{-a^2b}{abc} + \frac{-ac^2}{abc} + \frac{a^2c}{abc} + \frac{-b^2c}{abc} + \frac{ab^2}{abc} + \frac{bc^2}{abc} \] \[ = \frac{-a}{c} + \frac{-c}{b} + \frac{a}{b} + \frac{-b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \] Theo điều kiện ban đầu \( ca - ab - bc = 0 \), ta thấy rằng: \[ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} \] Do đó: \[ C = 0 \] Vậy giá trị của \( C \) là: \[ \boxed{0} \]