Rrrrrdddddd

Bài 23: Điều kiện xác định: \( x \geq 0; x \neq 4; x \neq 9 \). a) Tính \( A \) khi \( x = 64 \): \[ A = \frac{\sqrt{64} - 2}{\sqrt{64} - 3} = \frac{8 - 2}{8 - 3} = \frac{6}{5} \] b) Rút gọn \( B \): \[ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} + \frac{3}{\sqrt{x} + 2} + \frac{9\sqrt{x} - 10}{4 - x} \] Chúng ta sẽ quy đồng các phân thức: \[ B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} + \frac{3(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} + \frac{9\sqrt{x} - 10}{(2 - \sqrt{x})(2 + \sqrt{x})} \] \[ B = \frac{x + 2\sqrt{x}}{x - 4} + \frac{3\sqrt{x} - 6}{x - 4} + \frac{9\sqrt{x} - 10}{-(x - 4)} \] \[ B = \frac{x + 2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 6 - (9\sqrt{x} - 10)}{x - 4} \] \[ B = \frac{x + 2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 6 - 9\sqrt{x} + 10}{x - 4} \] \[ B = \frac{x - 4\sqrt{x} + 4}{x - 4} \] \[ B = \frac{(\sqrt{x} - 2)^2}{x - 4} \] \[ B = \frac{(\sqrt{x} - 2)^2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \] \[ B = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} \] c) Với \( M = \frac{B}{A} \), tìm \( x \) để \( M \) nhận giá trị nguyên: \[ M = \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2}}{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3}} = \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 2} \] Để \( M \) nhận giá trị nguyên, ta xét: \[ M = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 2} = k \quad (k \text{ là số nguyên}) \] \[ \sqrt{x} - 3 = k(\sqrt{x} + 2) \] \[ \sqrt{x} - 3 = k\sqrt{x} + 2k \] \[ \sqrt{x}(1 - k) = 2k + 3 \] \[ \sqrt{x} = \frac{2k + 3}{1 - k} \] Để \( \sqrt{x} \) là số nguyên, \( \frac{2k + 3}{1 - k} \) phải là số nguyên. Ta thử các giá trị \( k \): - \( k = 0 \): \( \sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9 \) - \( k = -1 \): \( \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1 \) Vậy \( x = 1 \) hoặc \( x = 9 \). Bài 24: Để giải quyết các yêu cầu của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần 1: Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 9 \) Biểu thức \( A = \frac{x-4}{\sqrt{x}} \). Thay \( x = 9 \) vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{9-4}{\sqrt{9}} = \frac{5}{3} \] Phần 2: Chứng minh \( B = \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 4} \) Biểu thức \( B = \frac{3}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2\sqrt{x} + 3}{4 - x} \). Chúng ta sẽ quy đồng mẫu số để biến đổi biểu thức \( B \): \[ B = \frac{3}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2\sqrt{x} + 3}{-(x - 4)} \] Quy đồng mẫu số chung là \( (\sqrt{x} - 2)(x - 4) \): \[ B = \frac{3(x - 4)}{(\sqrt{x} - 2)(x - 4)} + \frac{(2\sqrt{x} + 3)(-\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(x - 4)} \] Phân tích và biến đổi từng phần tử: \[ B = \frac{3(x - 4) + (2\sqrt{x} + 3)(-\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(x - 4)} \] Tính toán ở tử số: \[ 3(x - 4) = 3x - 12 \] \[ (2\sqrt{x} + 3)(-\sqrt{x} - 2) = -2x - 4\sqrt{x} - 3\sqrt{x} - 6 = -2x - 7\sqrt{x} - 6 \] Cộng lại: \[ 3x - 12 - 2x - 7\sqrt{x} - 6 = x - 7\sqrt{x} - 18 \] Do đó: \[ B = \frac{x - 7\sqrt{x} - 18}{(\sqrt{x} - 2)(x - 4)} \] Chúng ta nhận thấy rằng: \[ x - 7\sqrt{x} - 18 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 6) \] Vậy: \[ B = \frac{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 6)}{(\sqrt{x} - 2)(x - 4)} \] Chúng ta nhận thấy rằng: \[ B = \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 4} \] Phần 3: Chứng minh \( P < P^2 \) Biểu thức \( P = A \cdot B \): \[ P = \left( \frac{x-4}{\sqrt{x}} \right) \left( \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 4} \right) = \frac{x-4}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 4} = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}} \] \[ P = 1 + \frac{3}{\sqrt{x}} \] Chúng ta cần chứng minh \( P < P^2 \): \[ 1 + \frac{3}{\sqrt{x}} < \left( 1 + \frac{3}{\sqrt{x}} \right)^2 \] Biến đổi: \[ 1 + \frac{3}{\sqrt{x}} < 1 + 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{x}} + \left( \frac{3}{\sqrt{x}} \right)^2 \] \[ 1 + \frac{3}{\sqrt{x}} < 1 + \frac{6}{\sqrt{x}} + \frac{9}{x} \] \[ 0 < \frac{3}{\sqrt{x}} + \frac{9}{x} \] Điều này hiển nhiên đúng vì \( \frac{3}{\sqrt{x}} \) và \( \frac{9}{x} \) đều là các số dương khi \( x > 0 \). Vậy, \( P < P^2 \) đã được chứng minh.