Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng

Để tìm khoảng cách từ điểm \( C \) đến mặt phẳng \( (SBD) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích của tam giác \( SBD \): - Ta biết \( S \) là đỉnh của chóp và \( A, B, C, D \) là các đỉnh của đáy hình vuông cạnh \( a \). - \( SA \) vuông góc với mặt phẳng đáy, do đó \( SA \) cũng vuông góc với \( BD \). - Diện tích tam giác \( SBD \) được tính bằng công thức: \[ S_{SBD} = \frac{1}{2} \times BD \times SA \] - Độ dài \( BD \) là đường chéo của hình vuông cạnh \( a \): \[ BD = a\sqrt{2} \] - Do đó: \[ S_{SBD} = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times a = \frac{a^2\sqrt{2}}{2} \] 2. Tính thể tích của khối chóp \( SABCD \): - Thể tích của khối chóp \( SABCD \) được tính bằng công thức: \[ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA \] - Diện tích đáy \( ABCD \) là: \[ S_{ABCD} = a^2 \] - Do đó: \[ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \times a^2 \times a = \frac{a^3}{3} \] 3. Tính thể tích của khối chóp \( SBCD \): - Thể tích của khối chóp \( SBCD \) cũng được tính bằng công thức: \[ V_{SBCD} = \frac{1}{3} \times S_{BCD} \times SA \] - Diện tích tam giác \( BCD \) là: \[ S_{BCD} = \frac{1}{2} \times BC \times CD = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2} \] - Do đó: \[ V_{SBCD} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2}{2} \times a = \frac{a^3}{6} \] 4. Tính thể tích của khối chóp \( SCBD \): - Thể tích của khối chóp \( SCBD \) cũng được tính bằng công thức: \[ V_{SCBD} = \frac{1}{3} \times S_{CBD} \times SA \] - Diện tích tam giác \( CBD \) là: \[ S_{CBD} = \frac{1}{2} \times CB \times CD = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2} \] - Do đó: \[ V_{SCBD} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2}{2} \times a = \frac{a^3}{6} \] 5. Tính thể tích của khối chóp \( SBCD \): - Thể tích của khối chóp \( SBCD \) cũng được tính bằng công thức: \[ V_{SBCD} = \frac{1}{3} \times S_{BCD} \times SA \] - Diện tích tam giác \( BCD \) là: \[ S_{BCD} = \frac{1}{2} \times BC \times CD = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2} \] - Do đó: \[ V_{SBCD} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2}{2} \times a = \frac{a^3}{6} \] 6. Tính thể tích của khối chóp \( SBCD \): - Thể tích của khối chóp \( SBCD \) cũng được tính bằng công thức: \[ V_{SBCD} = \frac{1}{3} \times S_{BCD} \times SA \] - Diện tích tam giác \( BCD \) là: \[ S_{BCD} = \frac{1}{2} \times BC \times CD = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2} \] - Do đó: \[ V_{SBCD} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2}{2} \times a = \frac{a^3}{6} \] 7. Tính khoảng cách từ \( C \) đến mặt phẳng \( (SBD) \): - Gọi khoảng cách từ \( C \) đến mặt phẳng \( (SBD) \) là \( d \). - Thể tích của khối chóp \( SBCD \) cũng được tính bằng công thức: \[ V_{SBCD} = \frac{1}{3} \times S_{SBD} \times d \] - Do đó: \[ \frac{a^3}{6} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{2}}{2} \times d \] - Giải phương trình này để tìm \( d \): \[ \frac{a^3}{6} = \frac{a^2\sqrt{2}}{6} \times d \] \[ d = \frac{a^3}{6} \times \frac{6}{a^2\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] Vậy khoảng cách từ \( C \) đến mặt phẳng \( (SBD) \) là \( \frac{a\sqrt{2}}{2} \). Đáp số: \( \frac{a\sqrt{2}}{2} \)