Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x-1/1 = y-3/5 = z-1/-1 và mặt phẳng (P): 2x+y+z=0. Đường thẳng đối xứng với d qua (P) có phương trình là

Để tìm phương trình của đường thẳng đối xứng với đường thẳng \(d\) qua mặt phẳng \((P)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điểm đối xứng của một điểm trên đường thẳng \(d\) qua mặt phẳng \((P)\): - Chọn điểm \(A(1, 3, 1)\) thuộc đường thẳng \(d\). - Tìm điểm đối xứng \(A'\) của điểm \(A\) qua mặt phẳng \((P)\). 2. Tìm tọa độ của điểm đối xứng \(A'\): - Mặt phẳng \((P)\) có phương pháp vuông góc là \(\vec{n} = (2, 1, 1)\). - Phương trình đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\) là: \[ \frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-1}{1} \] - Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(A\) xuống mặt phẳng \((P)\). Tọa độ của \(H\) thỏa mãn phương trình mặt phẳng \((P)\): \[ 2x + y + z = 0 \] - Thay tọa độ của \(H\) vào phương trình đường thẳng: \[ H = (1 + 2t, 3 + t, 1 + t) \] - Thay vào phương trình mặt phẳng \((P)\): \[ 2(1 + 2t) + (3 + t) + (1 + t) = 0 \] \[ 2 + 4t + 3 + t + 1 + t = 0 \] \[ 6 + 6t = 0 \] \[ t = -1 \] - Tọa độ của \(H\) là: \[ H = (1 + 2(-1), 3 + (-1), 1 + (-1)) = (-1, 2, 0) \] - Tọa độ của điểm đối xứng \(A'\) là: \[ A' = (2 \times (-1) - 1, 2 \times 2 - 3, 2 \times 0 - 1) = (-3, 1, -1) \] 3. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đối xứng: - Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec{u} = (1, 5, -1)\). - Vectơ chỉ phương của đường thẳng đối xứng cũng là \(\vec{u}\). 4. Viết phương trình của đường thẳng đối xứng: - Đường thẳng đối xứng đi qua điểm \(A'\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u}\): \[ \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z + 1}{-1} \] Vậy phương trình của đường thẳng đối xứng với đường thẳng \(d\) qua mặt phẳng \((P)\) là: \[ \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z + 1}{-1} \]