Cho số phức z thoả mãn |z+7-13i| + |z+3-7i| .Tính giá trị của |z|

### Bài giải:

#### **Đề bài:**
Số phức \( z = x + yi \) thỏa mãn:
\[
|z + 7 - 13i| + |z + 3 - 7i| = 10.
\]
Tính giá trị của \( |z| \).

---

### **Phân tích:**
- \( |z + 7 - 13i| \): là khoảng cách từ \( z \) đến điểm \( A(-7, 13) \).
- \( |z + 3 - 7i| \): là khoảng cách từ \( z \) đến điểm \( B(-3, 7) \).
- Theo đề bài, tổng khoảng cách từ \( z \) đến hai điểm \( A \) và \( B \) bằng 10.

---

### **Nhận xét:**
Tổng khoảng cách từ \( z \) đến hai điểm cố định \( A \) và \( B \) bằng một hằng số (lớn hơn khoảng cách \( AB \)). Vậy \( z \) nằm trên **đường elip** với tiêu điểm là \( A(-7, 13) \) và \( B(-3, 7) \).

---

### **Tính toán:**
1. **Tính khoảng cách giữa hai tiêu điểm \( A \) và \( B \):**
\[
AB = \sqrt{(-3 - (-7))^2 + (7 - 13)^2} = \sqrt{4^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.
\]

2. Tổng khoảng cách từ \( z \) đến \( A \) và \( B \) là \( 10 \), lớn hơn \( AB = 2\sqrt{13} \). Do đó, đường elip có:
  - Tổng khoảng cách: \( 2a = 10 \) → \( a = 5 \).
  - Độ dài tiêu cự: \( 2c = AB = 2\sqrt{13} \) → \( c = \sqrt{13} \).

3. **Bán trục nhỏ \( b \):**
Công thức: \( b = \sqrt{a^2 - c^2} \).
\[
b = \sqrt{5^2 - (\sqrt{13})^2} = \sqrt{25 - 13} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.
\]

---

### **Tìm giá trị của \( |z| \):**
- Trường hợp đặc biệt: Nếu \( z \) nằm trên trục lớn của elip, nó có tọa độ đối xứng qua tâm \( O \) (trung điểm của \( A \) và \( B \)).
- Tọa độ tâm \( O \):
\[
O\left(-\frac{7+3}{2}, \frac{13+7}{2}\right) = O(-5, 10).
\]
- Nếu \( z \) nằm trên trục lớn và cách đều tiêu điểm, \( z \) chính là tâm \( O \).

**Tính \( |z| \):**
\[
|z| = \sqrt{(-5)^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}.
\]

---

### **Kết quả:**
\[
|z| = 5\sqrt{5}.
\]