giúp em với ạ

Câu 1. Để vẽ đồ thị của các hàm số \( y = 2^x \) và \( y = \log_2 x \), ta thực hiện các bước sau: a) Vẽ đồ thị của hàm số \( y = 2^x \) 1. Tìm tập xác định: Hàm số \( y = 2^x \) xác định trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). 2. Tính giá trị hàm số tại các điểm đặc biệt: - Khi \( x = 0 \), \( y = 2^0 = 1 \) - Khi \( x = 1 \), \( y = 2^1 = 2 \) - Khi \( x = -1 \), \( y = 2^{-1} = \frac{1}{2} \) - Khi \( x = 2 \), \( y = 2^2 = 4 \) - Khi \( x = -2 \), \( y = 2^{-2} = \frac{1}{4} \) 3. Xác định giới hạn: - Khi \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \) - Khi \( x \to -\infty \), \( y \to 0 \) 4. Vẽ đồ thị: Đồ thị của hàm số \( y = 2^x \) là một đường cong tăng dần từ trái sang phải, đi qua điểm (0, 1) và tiếp cận trục hoành khi \( x \to -\infty \). b) Vẽ đồ thị của hàm số \( y = \log_2 x \) 1. Tìm tập xác định: Hàm số \( y = \log_2 x \) xác định khi \( x > 0 \). 2. Tính giá trị hàm số tại các điểm đặc biệt: - Khi \( x = 1 \), \( y = \log_2 1 = 0 \) - Khi \( x = 2 \), \( y = \log_2 2 = 1 \) - Khi \( x = 4 \), \( y = \log_2 4 = 2 \) - Khi \( x = \frac{1}{2} \), \( y = \log_2 \left(\frac{1}{2}\right) = -1 \) - Khi \( x = \frac{1}{4} \), \( y = \log_2 \left(\frac{1}{4}\right) = -2 \) 3. Xác định giới hạn: - Khi \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \) - Khi \( x \to 0^+ \), \( y \to -\infty \) 4. Vẽ đồ thị: Đồ thị của hàm số \( y = \log_2 x \) là một đường cong tăng dần từ trái sang phải, đi qua điểm (1, 0) và tiếp cận trục tung khi \( x \to 0^+ \). Kết luận: - Đồ thị của hàm số \( y = 2^x \) là một đường cong tăng dần từ trái sang phải, đi qua điểm (0, 1) và tiếp cận trục hoành khi \( x \to -\infty \). - Đồ thị của hàm số \( y = \log_2 x \) là một đường cong tăng dần từ trái sang phải, đi qua điểm (1, 0) và tiếp cận trục tung khi \( x \to 0^+ \). Câu 2 Để tìm tập xác định của các hàm số, ta cần đảm bảo rằng các biểu thức trong hàm số có nghĩa. a) \( y = \frac{1}{4^x - 2^{x+1}} \) Điều kiện để hàm số có nghĩa là mẫu số khác 0: \[ 4^x - 2^{x+1} \neq 0 \] Ta viết lại \( 4^x \) và \( 2^{x+1} \) dưới dạng cùng cơ số: \[ 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \] \[ 2^{x+1} = 2^x \cdot 2 \] Do đó, điều kiện trở thành: \[ 2^{2x} - 2 \cdot 2^x \neq 0 \] Nhân cả hai vế với \( 2^{-x} \): \[ 2^x - 2 \neq 0 \] \[ 2^x \neq 2 \] \[ x \neq 1 \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] b) \( y = \log_2(x^2 + 2x - 6) \) Điều kiện để hàm số có nghĩa là biểu thức trong dấu logarit phải dương: \[ x^2 + 2x - 6 > 0 \] Ta giải bất phương trình này bằng phương pháp tìm nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x^2 + 2x - 6 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{2} \] \[ x = -1 \pm \sqrt{7} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = -1 + \sqrt{7} \] \[ x_2 = -1 - \sqrt{7} \] Biểu thức \( x^2 + 2x - 6 \) sẽ dương ở các khoảng: \[ (-\infty, -1 - \sqrt{7}) \cup (-1 + \sqrt{7}, +\infty) \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = (-\infty, -1 - \sqrt{7}) \cup (-1 + \sqrt{7}, +\infty) \]