Giúp em với ạ

Câu 3. Trọng lượng của tấm gỗ tròn là tổng của các lực căng của ba sợi dây. Vì các lực căng đôi một vuông góc với nhau, ta có thể tính trọng lượng P bằng cách sử dụng định lý Pythagoras trong không gian. Ta có: \[ |\overrightarrow{F_1}| = |\overrightarrow{F_2}| = |\overrightarrow{F_3}| = 10 \text{ N} \] Trọng lượng P của tấm gỗ tròn là: \[ P = \sqrt{|\overrightarrow{F_1}|^2 + |\overrightarrow{F_2}|^2 + |\overrightarrow{F_3}|^2} \] \[ P = \sqrt{10^2 + 10^2 + 10^2} \] \[ P = \sqrt{100 + 100 + 100} \] \[ P = \sqrt{300} \] \[ P = 10\sqrt{3} \] Làm tròn kết quả đến hàng phần mười: \[ P \approx 17.3 \text{ N} \] Đáp số: \( P \approx 17.3 \text{ N} \) Câu 4. Gọi số tiền giảm là 5000 x (n-1) (n > 1) Số quả bưởi bán được là 40 + 50(n-1) = 50n - 10 (quả) Giá bán mỗi quả bưởi là 50000 - 5000(n-1) = 55000 - 5000n (nghìn đồng) Lợi nhuận thu được là: \[ f(n) = (55000 - 5000n - 30000)(50n - 10) = (-5000n + 25000)(50n - 10) \] \[ f'(n) = -5000(50n - 10) + (-5000n + 25000) \times 50 = 0 \] \[ n = 2,6 \] Do đó, để thu được lợi nhuận lớn nhất thì cửa hàng nên bán bưởi với giá: \[ 55000 - 5000 \times 2,6 = 42000 \text{ (nghìn đồng)} \] Câu 5. Để tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của đường parabol: Vì đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất và đi qua điểm M (trung điểm của AC), ta có thể viết phương trình của đường parabol dưới dạng: \[ y = ax^2 + bx + c \] Điểm M là trung điểm của AC, do đó tọa độ của M là: \[ M\left(\frac{4}{2}, 1\right) = M(2, 1) \] Ta cũng biết rằng đường parabol đi qua các điểm A(0, 0) và C(4, 3.5). Thay các điểm này vào phương trình parabol để tìm các hệ số a, b, c. - Thay A(0, 0): \[ 0 = a(0)^2 + b(0) + c \Rightarrow c = 0 \] - Thay C(4, 3.5): \[ 3.5 = a(4)^2 + b(4) \Rightarrow 3.5 = 16a + 4b \] - Thay M(2, 1): \[ 1 = a(2)^2 + b(2) \Rightarrow 1 = 4a + 2b \] Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 3.5 = 16a + 4b \\ 1 = 4a + 2b \end{cases} \] Nhân phương trình thứ hai với 2: \[ 2 = 8a + 4b \] Trừ phương trình này từ phương trình đầu tiên: \[ 3.5 - 2 = 16a + 4b - (8a + 4b) \] \[ 1.5 = 8a \] \[ a = \frac{1.5}{8} = 0.1875 \] Thay a vào phương trình \(1 = 4a + 2b\): \[ 1 = 4(0.1875) + 2b \] \[ 1 = 0.75 + 2b \] \[ 2b = 1 - 0.75 \] \[ 2b = 0.25 \] \[ b = 0.125 \] Vậy phương trình của đường parabol là: \[ y = 0.1875x^2 + 0.125x \] 2. Tính diện tích thiết diện của khối tường cong: Diện tích thiết diện của khối tường cong là diện tích dưới đường parabol từ x = 0 đến x = 4. Diện tích S dưới đường parabol từ x = 0 đến x = 4 là: \[ S = \int_{0}^{4} (0.1875x^2 + 0.125x) \, dx \] Tính tích phân: \[ S = \left[ 0.1875 \cdot \frac{x^3}{3} + 0.125 \cdot \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} \] \[ S = \left[ 0.1875 \cdot \frac{4^3}{3} + 0.125 \cdot \frac{4^2}{2} \right] - \left[ 0.1875 \cdot \frac{0^3}{3} + 0.125 \cdot \frac{0^2}{2} \right] \] \[ S = \left[ 0.1875 \cdot \frac{64}{3} + 0.125 \cdot 8 \right] \] \[ S = \left[ 0.1875 \cdot 21.3333 + 1 \right] \] \[ S = \left[ 3.9999 + 1 \right] \] \[ S = 4.9999 \approx 5 \, m^2 \] 3. Tính thể tích khối tường cong: Thể tích V của khối tường cong là diện tích thiết diện nhân với chiều dài của đoạn thẳng AB: \[ V = S \times AB \] \[ V = 5 \times 2 \] \[ V = 10 \, m^3 \] Vậy thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong là 10 m³. Câu 6. Để tìm khoảng đồng biến của hàm số $y=-\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 5x - 44$, ta cần tính đạo hàm của hàm số này và tìm các điểm cực trị. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left(-\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 5x - 44\right)' = -x^2 + 4x + 5 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ -x^2 + 4x + 5 = 0 \] \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \] \[ (x - 5)(x + 1) = 0 \] \[ x = 5 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Bước 4: Xác định dấu của đạo hàm $y'$ trên các khoảng $( -\infty; -1 )$, $( -1; 5 )$, và $( 5; +\infty )$: - Trên khoảng $( -\infty; -1 )$: Chọn $x = -2$, ta có $y' = -(-2)^2 + 4(-2) + 5 = -4 - 8 + 5 = -7 < 0$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Trên khoảng $( -1; 5 )$: Chọn $x = 0$, ta có $y' = -(0)^2 + 4(0) + 5 = 5 > 0$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng này. - Trên khoảng $( 5; +\infty )$: Chọn $x = 6$, ta có $y' = -(6)^2 + 4(6) + 5 = -36 + 24 + 5 = -7 < 0$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng này. Bước 5: Kết luận khoảng đồng biến của hàm số: Hàm số đồng biến trên khoảng $( -1; 5 )$. Do đó, $a = -1$ và $b = 5$. Ta có: \[ a + b = -1 + 5 = 4 \] Đáp số: $a + b = 4$.