Giúp em với ạ

Câu 3. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên thông tin đã cho. a) Chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm thấp nhất khi sản lượng nước tinh khiết trong ngày là $100~m^3$. Chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm là: \[ \overline{c}(x) = \frac{C(x)}{x} \] Trước tiên, ta cần tính chi phí sản xuất $C(x)$: \[ C(x) = 0,0003x^2 + 0,15x + 3 \] Do đó: \[ \overline{c}(x) = \frac{0,0003x^2 + 0,15x + 3}{x} = 0,0003x + 0,15 + \frac{3}{x} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của $\overline{c}(x)$, ta tính đạo hàm của $\overline{c}(x)$: \[ \overline{c}'(x) = 0,0003 - \frac{3}{x^2} \] Đặt $\overline{c}'(x) = 0$: \[ 0,0003 - \frac{3}{x^2} = 0 \] \[ \frac{3}{x^2} = 0,0003 \] \[ x^2 = \frac{3}{0,0003} = 10000 \] \[ x = 100 \] Vậy, chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm thấp nhất khi sản lượng nước tinh khiết trong ngày là $100~m^3$. Mệnh đề này là đúng. b) $\overline{c}(x) = 0,0003x + 0,15 + \frac{3}{x}$. Ta đã tính ở trên: \[ \overline{c}(x) = 0,0003x + 0,15 + \frac{3}{x} \] Mệnh đề này là đúng. c) Chi phí sản xuất $100~m^3$ nước tinh khiết là 20 triệu đồng. Ta tính chi phí sản xuất $100~m^3$: \[ C(100) = 0,0003 \times 100^2 + 0,15 \times 100 + 3 \] \[ C(100) = 0,0003 \times 10000 + 15 + 3 \] \[ C(100) = 3 + 15 + 3 = 21 \text{ triệu đồng} \] Mệnh đề này là sai vì chi phí sản xuất $100~m^3$ nước tinh khiết là 21 triệu đồng, không phải 20 triệu đồng. d) $C(x) = 0,0003x^2 + 0,15x + 5$. Ta đã tính ở trên: \[ C(x) = 0,0003x^2 + 0,15x + 3 \] Mệnh đề này là sai vì chi phí cố định là 3 triệu đồng, không phải 5 triệu đồng. Kết luận: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là đúng. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) là sai. Câu 4. a) Tọa độ hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng Oxy là H(0;0;-2) Hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là (2; k; 0). b) Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{AB}$ là $(1;3;-2).$ Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{AB}$ là: $\overrightarrow{AB} = (2 - (k - 2); k - 0; -2 - 0) = (4 - k; k; -2)$ c) $\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{BC}.$ Tọa độ của vécto $\overrightarrow{x} = (-4; 12; 14).$ Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{BC}$ là: $\overrightarrow{BC} = (0 - 2; 3 - k; 4 - (-2)) = (-2; 3 - k; 6)$ Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{x}$ là: $\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{BC} = 2(4 - k; k; -2) - 3(-2; 3 - k; 6)$ $= (8 - 2k; 2k; -4) - (-6; 9 - 3k; 18)$ $= (8 - 2k + 6; 2k - 9 + 3k; -4 - 18)$ $= (14 - 2k; 5k - 9; -22)$ d) Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là $G(1; \frac{2}{3}; \frac{2}{3}).$ Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $G = \left(\frac{k - 2 + 2 + 0}{3}; \frac{0 + k + 3}{3}; \frac{0 - 2 + 4}{3}\right) = \left(\frac{k}{3}; \frac{k + 3}{3}; \frac{2}{3}\right)$ Để $G = (1; \frac{2}{3}; \frac{2}{3})$, ta có: $\frac{k}{3} = 1 \Rightarrow k = 3$ $\frac{k + 3}{3} = \frac{2}{3} \Rightarrow k + 3 = 2 \Rightarrow k = -1$ Do đó, ta thấy rằng không có giá trị nào của k thỏa mãn cả hai điều kiện trên. Vì vậy, không có giá trị nào của k để trọng tâm của tam giác ABC là $G(1; \frac{2}{3}; \frac{2}{3})$. Câu 1. Để xác định khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu, ta sẽ sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian ba chiều. Ta sẽ xác định tọa độ của mỗi chiếc khinh khí cầu dựa trên thông tin đã cho. 1. Xác định tọa độ của chiếc khinh khí cầu thứ nhất: - Chiếc khinh khí cầu thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông 100 km và về phía Nam 80 km, đồng thời cách mặt đất 1 km. - Tọa độ của chiếc khinh khí cầu thứ nhất là \( A(100, -80, 1) \). 2. Xác định tọa độ của chiếc khinh khí cầu thứ hai: - Chiếc khinh khí cầu thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc 70 km và về phía Tây 60 km, đồng thời cách mặt đất 0,8 km. - Tọa độ của chiếc khinh khí cầu thứ hai là \( B(-60, 70, 0,8) \). 3. Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian ba chiều: \[ d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ của hai điểm vào công thức: \[ d(A, B) = \sqrt{((-60) - 100)^2 + (70 - (-80))^2 + (0,8 - 1)^2} \] \[ d(A, B) = \sqrt{(-160)^2 + (150)^2 + (-0,2)^2} \] \[ d(A, B) = \sqrt{25600 + 22500 + 0,04} \] \[ d(A, B) = \sqrt{48100,04} \] \[ d(A, B) \approx 219,32 \] Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị: \[ d(A, B) \approx 219 \text{ km} \] Vậy khoảng cách giữa chiếc khinh khí cầu thứ nhất và chiếc khinh khí cầu thứ hai là 219 km. Câu 2. Để tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 9x + 1) = 3x^2 + 6x - 9 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. \[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Phương trình này có dạng bậc hai, ta giải bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -3\): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \] Do đó: \[ x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị bằng cách kiểm tra đạo hàm cấp hai. \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 + 6x - 9) = 6x + 6 \] Kiểm tra tại \(x = 1\): \[ y''(1) = 6 \cdot 1 + 6 = 12 > 0 \] Vậy \(x = 1\) là điểm cực tiểu. Kiểm tra tại \(x = -3\): \[ y''(-3) = 6 \cdot (-3) + 6 = -18 + 6 = -12 < 0 \] Vậy \(x = -3\) là điểm cực đại. Bước 4: Tìm tọa độ của điểm cực tiểu \(M(a, b)\). \[ a = 1 \] Thay \(x = 1\) vào hàm số để tìm \(b\): \[ b = 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 9 \cdot 1 + 1 = 1 + 3 - 9 + 1 = -4 \] Vậy điểm cực tiểu là \(M(1, -4)\). Bước 5: Tính \(a + b\): \[ a + b = 1 + (-4) = -3 \] Đáp số: \(a + b = -3\). Câu 3. Giả sử cửa hàng giảm giá \( x \) lần, mỗi lần giảm 4000 đồng. Như vậy, giá bán mới sẽ là: \[ 50000 - 4000x \text{ (đồng)} \] Số lượng xoài bán được sẽ tăng thêm \( 50x \) kg, do đó tổng số lượng xoài bán được là: \[ 25 + 50x \text{ (kg)} \] Lợi nhuận từ việc bán xoài là: \[ (50000 - 4000x - 30000)(25 + 50x) \] \[ = (20000 - 4000x)(25 + 50x) \] \[ = 20000(25 + 50x) - 4000x(25 + 50x) \] \[ = 500000 + 1000000x - 100000x - 200000x^2 \] \[ = 500000 + 900000x - 200000x^2 \] Để tìm giá bán sao cho lợi nhuận lớn nhất, ta cần tìm giá trị của \( x \) làm cho biểu thức trên đạt cực đại. Ta có: \[ f(x) = 500000 + 900000x - 200000x^2 \] Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 900000 - 400000x \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ 900000 - 400000x = 0 \] \[ 400000x = 900000 \] \[ x = \frac{900000}{400000} \] \[ x = 2.25 \] Vậy giá bán mới để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất là: \[ 50000 - 4000 \times 2.25 \] \[ = 50000 - 9000 \] \[ = 41000 \text{ (đồng)} \] Đáp số: Giá bán để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất là 41000 đồng.