Trả lời đúng sai

Câu 10. a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x),$ trục hoành và hai đường thẳng $x=0,~x=1$ là $S=\int^1_0f(x)dx.$ Đúng vì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x),$ trục hoành và hai đường thẳng $x=0,~x=1$ là $S=\int^1_0f(x)dx.$ b) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x),$ trục hoành và hai đường thẳng $x=0,~x=1$ quanh trục hoành là $V=\int^1_0f^2(x)dx$ Sai vì thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x),$ trục hoành và hai đường thẳng $x=0,~x=1$ quanh trục hoành là $V=\pi\int^1_0f^2(x)dx$ c) Diện tích hình phẳng (H) là $S=\int^1_0[f(x)-g(x)]dx$ Đúng vì diện tích hình phẳng (H) là $S=\int^1_0[f(x)-g(x)]dx$ d) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là $V=\pi\int^1_x[f^2(x)-g^2(x)]dx$. Đúng vì thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là $V=\pi\int^1_x[f^2(x)-g^2(x)]dx$. Câu 11. Để giải quyết các câu hỏi về diện tích và thể tích của các hình phẳng và vật thể tròn xoay, chúng ta sẽ áp dụng các phương pháp tích phân và tính toán cụ thể từng phần. a) Diện tích hình phẳng (H) Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) = \frac{x+1}{x} \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = 2 \) và \( x = 6 \). Diện tích \( S \) của hình phẳng (H) được tính bằng tích phân: \[ S = \int_{2}^{6} \left( \frac{x+1}{x} \right) \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{2}^{6} \left( \frac{x+1}{x} \right) \, dx = \int_{2}^{6} \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \, dx \] \[ = \int_{2}^{6} 1 \, dx + \int_{2}^{6} \frac{1}{x} \, dx \] \[ = [x]_{2}^{6} + [\ln|x|]_{2}^{6} \] \[ = (6 - 2) + (\ln 6 - \ln 2) \] \[ = 4 + \ln \left( \frac{6}{2} \right) \] \[ = 4 + \ln 3 \] Vậy diện tích hình phẳng (H) là \( S = 4 + \ln 3 \). Đáp án đúng là a). b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) - 1 \) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) - 1 = \frac{x+1}{x} - 1 = \frac{1}{x} \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = 2 \) và \( x = 6 \). Diện tích \( S \) của hình phẳng này được tính bằng tích phân: \[ S = \int_{2}^{6} \frac{1}{x} \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{2}^{6} \frac{1}{x} \, dx = [\ln|x|]_{2}^{6} \] \[ = \ln 6 - \ln 2 \] \[ = \ln \left( \frac{6}{2} \right) \] \[ = \ln 3 \] Vậy diện tích hình phẳng này là \( S = \ln 3 \). Đáp án không đúng là b). c) Thể tích vật thể tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox Thể tích \( V \) của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{2}^{6} \left( \frac{x+1}{x} \right)^2 \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{2}^{6} \left( \frac{x+1}{x} \right)^2 \, dx = \int_{2}^{6} \left( 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} \right) \, dx \] \[ = \int_{2}^{6} 1 \, dx + 2 \int_{2}^{6} \frac{1}{x} \, dx + \int_{2}^{6} \frac{1}{x^2} \, dx \] \[ = [x]_{2}^{6} + 2[\ln|x|]_{2}^{6} + \left[ -\frac{1}{x} \right]_{2}^{6} \] \[ = (6 - 2) + 2(\ln 6 - \ln 2) + \left( -\frac{1}{6} + \frac{1}{2} \right) \] \[ = 4 + 2 \ln 3 + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) \] \[ = 4 + 2 \ln 3 + \frac{1}{3} \] \[ = \frac{13}{3} + 2 \ln 3 \] Vậy thể tích vật thể tròn xoay là \( V = \frac{(13 + 6 \ln 3) \pi}{3} \). Đáp án đúng là c). d) Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \) và các đường thẳng \( y = 1 \), \( x = 2 \), \( x = 6 \) quanh trục Ox Thể tích \( V \) của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng này quanh trục Ox được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{2}^{6} \left( \left( \frac{x+1}{x} \right)^2 - 1^2 \right) \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{2}^{6} \left( \left( \frac{x+1}{x} \right)^2 - 1 \right) \, dx = \int_{2}^{6} \left( 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} - 1 \right) \, dx \] \[ = \int_{2}^{6} \left( \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} \right) \, dx \] \[ = 2 \int_{2}^{6} \frac{1}{x} \, dx + \int_{2}^{6} \frac{1}{x^2} \, dx \] \[ = 2[\ln|x|]_{2}^{6} + \left[ -\frac{1}{x} \right]_{2}^{6} \] \[ = 2(\ln 6 - \ln 2) + \left( -\frac{1}{6} + \frac{1}{2} \right) \] \[ = 2 \ln 3 + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) \] \[ = 2 \ln 3 + \frac{1}{3} \] Vậy thể tích vật thể tròn xoay là \( V = \frac{(1 + 6 \ln 3) \pi}{3} \). Đáp án đúng là d). Kết luận - Đáp án đúng cho câu a) là \( S = 4 + \ln 3 \). - Đáp án đúng cho câu c) là \( V = \frac{(13 + 6 \ln 3) \pi}{3} \). - Đáp án đúng cho câu d) là \( V = \frac{(1 + 6 \ln 3) \pi}{3} \). Câu 12. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi và xác định xem các phát biểu a), b), c) và d) có đúng hay không. a) Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị hàm số: $y = x^2 - 2x - 1$, $y = -x^2 + 3$ và hai đường thẳng $x = -1$, $x = 2$. Điều này đúng vì hình phẳng (H) được giới hạn bởi các đồ thị hàm số đã cho và hai đường thẳng. b) Diện tích hình phẳng (H) là: $S = \int^2_0 (-x^2 + 3) - (x^2 - 2x - 1) \, dx$ Phát biểu này sai vì diện tích hình phẳng (H) không chỉ giới hạn từ $x = 0$ đến $x = 2$. Chúng ta cần tính diện tích từ $x = -1$ đến $x = 2$. c) Diện tích hình phẳng (H) là: $S = 2 \int^2_{-1} (x^2 - x - 2) \, dx$ Phát biểu này cũng sai vì diện tích hình phẳng (H) không phải là hai lần tích phân từ $x = -1$ đến $x = 2$. Chúng ta cần tính diện tích đúng từ $x = -1$ đến $x = 2$. d) Nếu $\ln S = a \ln b$ (với a, b là các số nguyên tố) thì $a^2 + b^2 = 29$. Để kiểm tra điều này, chúng ta cần tính diện tích hình phẳng (H) trước. Diện tích hình phẳng (H) là: \[ S = \int^2_{-1} [(-x^2 + 3) - (x^2 - 2x - 1)] \, dx \] \[ S = \int^2_{-1} (-x^2 + 3 - x^2 + 2x + 1) \, dx \] \[ S = \int^2_{-1} (-2x^2 + 2x + 4) \, dx \] Tính tích phân: \[ S = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x \right]^2_{-1} \] \[ S = \left( -\frac{2}{3}(2)^3 + (2)^2 + 4(2) \right) - \left( -\frac{2}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 4(-1) \right) \] \[ S = \left( -\frac{16}{3} + 4 + 8 \right) - \left( \frac{2}{3} + 1 - 4 \right) \] \[ S = \left( -\frac{16}{3} + 12 \right) - \left( \frac{2}{3} - 3 \right) \] \[ S = \left( -\frac{16}{3} + \frac{36}{3} \right) - \left( \frac{2}{3} - \frac{9}{3} \right) \] \[ S = \left( \frac{20}{3} \right) - \left( -\frac{7}{3} \right) \] \[ S = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} \] \[ S = \frac{27}{3} \] \[ S = 9 \] Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra nếu $\ln S = a \ln b$ (với a, b là các số nguyên tố) thì $a^2 + b^2 = 29$. \[ \ln 9 = \ln (3^2) = 2 \ln 3 \] Ở đây, $a = 2$ và $b = 3$. Kiểm tra: \[ a^2 + b^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \] Do đó, phát biểu d) là sai. Kết luận: - Phát biểu a) đúng. - Phát biểu b) sai. - Phát biểu c) sai. - Phát biểu d) sai. Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.