fhjvbjklgjn

Bài 1: a) Ta có $A(3,-1,4)$ và $(P): x + y - 2z - 3 = 0$. Hình chiếu của điểm $A$ lên mặt phẳng $(P)$ là điểm $H$, ta viết phương trình đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$: Phương trình đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ là: \[ \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 4}{-2} \] b) Để tìm tọa độ của hình chiếu $H$ của điểm $A$ lên mặt phẳng $(P)$, ta thay tọa độ của $H$ vào phương trình đường thẳng trên và phương trình mặt phẳng $(P)$: Gọi $H(x, y, z)$, ta có: \[ x = 3 + t, \quad y = -1 + t, \quad z = 4 - 2t \] Thay vào phương trình $(P)$: \[ (3 + t) + (-1 + t) - 2(4 - 2t) - 3 = 0 \] \[ 3 + t - 1 + t - 8 + 4t - 3 = 0 \] \[ 6t - 9 = 0 \] \[ t = \frac{3}{2} \] Do đó, tọa độ của $H$ là: \[ H\left(3 + \frac{3}{2}, -1 + \frac{3}{2}, 4 - 2 \cdot \frac{3}{2}\right) = H\left(\frac{9}{2}, \frac{1}{2}, 1\right) \] c) Tính khoảng cách từ $A$ đến $H$: \[ d(A, H) = \sqrt{\left(3 - \frac{9}{2}\right)^2 + \left(-1 - \frac{1}{2}\right)^2 + (4 - 1)^2} \] \[ = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 3^2} \] \[ = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4} + 9} \] \[ = \sqrt{\frac{9}{2} + 9} \] \[ = \sqrt{\frac{27}{2}} \] \[ = \frac{3\sqrt{6}}{2} \] d) Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ và cắt $\Delta_1$ và vuông góc với $\Delta_2$: Đường thẳng $\Delta_1$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_1 = (1, -1, 1)$ và đường thẳng $\Delta_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_2 = (0, 1, -1)$. Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_d = (\vec{u}_1 \times \vec{u}_2)$: \[ \vec{u}_d = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(1) = (1, 1, 1) \] Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A(3, -1, 4)$ và có vectơ chỉ phương $(1, 1, 1)$ là: \[ \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 4}{1} \] e) Viết phương trình đường thẳng $d'$ cắt $\Delta_2$ và nằm trong $(P)$ và vuông góc với $\Delta_1$: Đường thẳng $\Delta_1$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_1 = (1, -1, 1)$. Đường thẳng $d'$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_{d'} = (\vec{n} \times \vec{u}_1)$, trong đó $\vec{n} = (1, 1, -2)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$: \[ \vec{u}_{d'} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(-2) = (-1, -3, -2) \] Phương trình đường thẳng $d'$ đi qua điểm $B(-1, 1, 1)$ (điểm thuộc $\Delta_2$) và có vectơ chỉ phương $(-1, -3, -2)$ là: \[ \frac{x + 1}{-1} = \frac{y - 1}{-3} = \frac{z - 1}{-2} \] Đáp số: a) Phương trình đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ là: \[ \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 4}{-2} \] b) Tọa độ hình chiếu của $A$ lên $(P)$ là: \[ H\left(\frac{9}{2}, \frac{1}{2}, 1\right) \] c) Khoảng cách từ $A$ đến $H$ là: \[ \frac{3\sqrt{6}}{2} \] d) Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ và cắt $\Delta_1$ và vuông góc với $\Delta_2$ là: \[ \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 4}{1} \] e) Phương trình đường thẳng $d'$ cắt $\Delta_2$ và nằm trong $(P)$ và vuông góc với $\Delta_1$ là: \[ \frac{x + 1}{-1} = \frac{y - 1}{-3} = \frac{z - 1}{-2} \] Bài 2: a) Ta có $\overrightarrow{u}=(1,-1,1)$ và $\overrightarrow{n}=(1,2,1)$ $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=1-2+1=0$ Suy ra $\Delta//(P)$ b) Lấy điểm $B(1,1,1)\in \Delta$ d($\Delta$, (P)) = d(B, (P)) $=\frac{|1+2+1-2|}{\sqrt{1+4+1}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ c) Mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $A(2,0,2)$ và song song với mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $x+2y+z-2=0$ d) Thay tọa độ điểm $A(2,0,2)$ vào phương trình của đường thẳng ta được: $2=1+t, 0=1-t, 2=1+t$ Từ đó suy ra $t=1$ Vậy điểm $A$ thuộc đường thẳng $\Delta$ Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng $(P)$ Ta có $\overrightarrow{AH}=k\overrightarrow{n}=(k,2k,k)$ Tọa độ của điểm $H$ là $(2+k,2k,2+k)$ Điểm $H$ thuộc mặt phẳng $(P)$ nên thay tọa độ của điểm $H$ vào phương trình của mặt phẳng $(P)$ ta được: $2+k+4k+2+k-2=0$ Từ đó suy ra $k=-\frac{1}{3}$ Vậy tọa độ của điểm $H$ là $(\frac{5}{3},-\frac{2}{3},\frac{5}{3})$ e) Phương trình của đường thẳng hình chiếu của đường thẳng $\Delta$ lên mặt phẳng $(P)$ là: $\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\y=-2t\\z=2-t\end{array}\right.$