giúp mình với

Câu 1: a) Đúng vì đồ thị hàm số bậc ba có dạng lồi ở phía bên trái và lõm ở phía bên phải. Đồ thị hàm số đã cho có dạng như vậy nên đây là hàm số bậc ba có hệ số a > 0. b) Sai vì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;1) và đồng biến trên khoảng (1;+∞). c) Đúng vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng 0 và tung độ âm. d) Đúng vì đường thẳng y = 2 cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm có hoành độ khác nhau. Câu 2: Để giải quyết các mệnh đề về hàm số $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số để xác định các điểm cực trị và khoảng đồng biến, nghịch biến. 2. Xác định các điểm cực đại và cực tiểu. 3. Kiểm tra các mệnh đề đã cho. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x - 1) = 3x^2 - 12x + 9 \] Bước 2: Xác định các điểm cực trị Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \] \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] Vậy, các điểm cực trị là \( x = 1 \) và \( x = 3 \). Bước 3: Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến - Khi \( x < 1 \), \( y' > 0 \) nên hàm số đồng biến. - Khi \( 1 < x < 3 \), \( y' < 0 \) nên hàm số nghịch biến. - Khi \( x > 3 \), \( y' > 0 \) nên hàm số đồng biến. Bước 4: Xác định các giá trị cực đại và cực tiểu - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 - 1 = 1 - 6 + 9 - 1 = 3 \] Vậy điểm cực đại là \( (1, 3) \). - Tại \( x = 3 \): \[ y(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 - 1 = 27 - 54 + 27 - 1 = -1 \] Vậy điểm cực tiểu là \( (3, -1) \). Bước 5: Kiểm tra các mệnh đề a) Hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ: - Đúng vì hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (3, +\infty) \), nghịch biến trên khoảng \( (1, 3) \). b) Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (1, 2) \): - Đúng vì trong khoảng \( (1, 3) \), hàm số nghịch biến. c) Hàm số có \( y_{CD} + 3y_{CT} = -1 \): - \( y_{CD} = 3 \) (giá trị tại điểm cực đại) - \( y_{CT} = -1 \) (giá trị tại điểm cực tiểu) - \( y_{CD} + 3y_{CT} = 3 + 3(-1) = 3 - 3 = 0 \) - Sai vì \( y_{CD} + 3y_{CT} = 0 \), không phải là -1. d) Điểm \( A(0, 4) \) thuộc đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số: - Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị \( (1, 3) \) và \( (3, -1) \) có phương trình: \[ y - 3 = \frac{-1 - 3}{3 - 1}(x - 1) \] \[ y - 3 = \frac{-4}{2}(x - 1) \] \[ y - 3 = -2(x - 1) \] \[ y = -2x + 5 \] - Thay \( x = 0 \) vào phương trình: \[ y = -2(0) + 5 = 5 \] - Sai vì điểm \( A(0, 4) \) không nằm trên đường thẳng \( y = -2x + 5 \). Kết luận: - Mệnh đề a) Đúng - Mệnh đề b) Đúng - Mệnh đề c) Sai - Mệnh đề d) Sai Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt xác định tọa độ của các điểm treo M, N, P và từ đó xác định tọa độ của các đèn A, B, C. Bước 1: Xác định tọa độ của điểm treo M - Điểm treo M cách tường có cửa sổ (Oxz) 4m, tức là hoành độ của M là 4. - Điểm treo M nằm trên thanh đỡ a, cách bức tường phía sau 2m, tức là tọa độ y của M là 2. - Độ dài dây điện treo của đèn A là \( MA = 0,7 \)m, do đó tọa độ z của M là \( 4 - 0,7 = 3,3 \)m. Tọa độ của điểm M là \( (4; 2; 3,3) \). Bước 2: Xác định tọa độ của điểm treo N - Khoảng cách giữa các điểm treo là \( MN = 1,5 \)m, do đó tọa độ x của N là \( 4 + 1,5 = 5,5 \)m. - Điểm treo N cũng nằm trên thanh đỡ a, cách bức tường phía sau 2m, tức là tọa độ y của N là 2. - Vì không có thông tin về độ dài dây điện của đèn B, chúng ta sẽ giữ tọa độ z của N là 3,3m (giả sử tương tự như M). Tọa độ của điểm N là \( (5,5; 2; 3,3) \). Bước 3: Xác định tọa độ của điểm treo P - Khoảng cách giữa các điểm treo là \( NP = 1 \)m, do đó tọa độ x của P là \( 5,5 + 1 = 6,5 \)m. - Điểm treo P cũng nằm trên thanh đỡ a, cách bức tường phía sau 2m, tức là tọa độ y của P là 2. - Độ dài dây điện treo của đèn C là \( PC = 0,5 \)m, do đó tọa độ z của P là \( 4 - 0,5 = 3,5 \)m. Tọa độ của điểm P là \( (6,5; 2; 3,5) \). Bước 4: Xác định tọa độ của các đèn A, B, C - Đèn A nằm trực tiếp dưới điểm treo M, do đó tọa độ của đèn A là \( (4; 2; 3,3) \). - Đèn B nằm trực tiếp dưới điểm treo N, do đó tọa độ của đèn B là \( (5,5; 2; 3,3) \). - Đèn C nằm trực tiếp dưới điểm treo P, do đó tọa độ của đèn C là \( (6,5; 2; 3,5) \). Bước 5: Kiểm tra các lựa chọn a) Hoành độ của điểm A bằng 2. Sai, vì hoành độ của điểm A là 4. b) Tọa độ của đèn A là \( (2; 4; \frac{33}{10}) \). Sai, vì tọa độ của đèn A là \( (4; 2; 3,3) \). c) Tọa độ đèn C là \( (2; \frac{13}{2}; \frac{7}{2}) \). Sai, vì tọa độ của đèn C là \( (6,5; 2; 3,5) \). d) Tổng khoảng cách giữa 3 đèn đến gốc tọa độ O là 19m (làm tròn đến hàng đơn vị). Tính khoảng cách từ mỗi đèn đến gốc tọa độ: - Khoảng cách từ đèn A đến gốc tọa độ: \( \sqrt{4^2 + 2^2 + 3,3^2} = \sqrt{16 + 4 + 10,89} = \sqrt{30,89} \approx 5,56 \)m. - Khoảng cách từ đèn B đến gốc tọa độ: \( \sqrt{5,5^2 + 2^2 + 3,3^2} = \sqrt{30,25 + 4 + 10,89} = \sqrt{45,14} \approx 6,72 \)m. - Khoảng cách từ đèn C đến gốc tọa độ: \( \sqrt{6,5^2 + 2^2 + 3,5^2} = \sqrt{42,25 + 4 + 12,25} = \sqrt{58,5} \approx 7,65 \)m. Tổng khoảng cách: \( 5,56 + 6,72 + 7,65 \approx 19,93 \)m, làm tròn đến hàng đơn vị là 20m. Do đó, đáp án đúng là d) Tổng khoảng cách giữa 3 đèn đến gốc tọa độ O là 19m (làm tròn đến hàng đơn vị). Câu 4: a) Lớp 12A có tổng số học sinh là: $2 + 7 + 8 + 3 + 10 + 5 + 3 + 2 = 40$ (học sinh) b) Tính điểm trung bình môn Toán trong kỳ kiểm tra giữa HKI của lớp 12A: - Điểm trung bình của mỗi khoảng: - $[2;3)$: $\frac{2+3}{2} = 2,5$ - $[3;4)$: $\frac{3+4}{2} = 3,5$ - $[4;5)$: $\frac{4+5}{2} = 4,5$ - $[5;6)$: $\frac{5+6}{2} = 5,5$ - $[6;7)$: $\frac{6+7}{2} = 6,5$ - $[7;8)$: $\frac{7+8}{2} = 7,5$ - $[8;9)$: $\frac{8+9}{2} = 8,5$ - $[9;10]$: $\frac{9+10}{2} = 9,5$ - Tổng số điểm của tất cả học sinh: $2 \times 2,5 + 7 \times 3,5 + 8 \times 4,5 + 3 \times 5,5 + 10 \times 6,5 + 5 \times 7,5 + 3 \times 8,5 + 2 \times 9,5 = 5,0 + 24,5 + 36,0 + 16,5 + 65,0 + 37,5 + 25,5 + 19,0 = 239,0$ - Điểm trung bình: $\frac{239,0}{40} = 5,975$ c) Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong dữ liệu. Từ bảng, ta thấy khoảng $[6;7)$ có số học sinh nhiều nhất (10 học sinh). Do đó, mốt của mẫu số liệu là 6,5. d) Phương sai của lớp 12B là 5,32. Để so sánh sự đồng đều giữa hai lớp, ta cần tính phương sai của lớp 12A. Phương sai thấp hơn cho thấy sự đồng đều cao hơn. Vì phương sai của lớp 12B là 5,32, ta cần tính phương sai của lớp 12A để so sánh. Phương sai của lớp 12A: - Tính bình phương sai số từ điểm trung bình: - $(2,5 - 5,975)^2 = 12,005625$ - $(3,5 - 5,975)^2 = 6,005625$ - $(4,5 - 5,975)^2 = 2,105625$ - $(5,5 - 5,975)^2 = 0,225625$ - $(6,5 - 5,975)^2 = 0,275625$ - $(7,5 - 5,975)^2 = 2,305625$ - $(8,5 - 5,975)^2 = 6,705625$ - $(9,5 - 5,975)^2 = 13,005625$ - Tính tổng bình phương sai số nhân với tần số: $2 \times 12,005625 + 7 \times 6,005625 + 8 \times 2,105625 + 3 \times 0,225625 + 10 \times 0,275625 + 5 \times 2,305625 + 3 \times 6,705625 + 2 \times 13,005625 = 24,01125 + 42,039375 + 16,845 + 0,676875 + 2,75625 + 11,528125 + 20,116875 + 26,01125 = 143,985$ - Phương sai: $\frac{143,985}{40} = 3,599625$ So sánh phương sai của lớp 12A (3,599625) và lớp 12B (5,32): - Phương sai của lớp 12A thấp hơn, do đó lớp 12A học đều hơn lớp 12B. Đáp số: a) 40 học sinh b) 5,975 c) 6,5 d) Lớp 12A học đều hơn lớp 12B vì phương sai của lớp 12A thấp hơn (3,599625 < 5,32).