jakaokwjqjqhqhqhqq 3c ah

Câu 16. Để tính $\int \frac{1}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x} \, dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chuyển đổi biểu thức trong tích phân: \[ \frac{1}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x} = \frac{1}{(\sin x \cdot \cos x)^2} \] Bước 2: Sử dụng công thức nhân đôi: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x \] Do đó: \[ (\sin x \cos x)^2 = \left( \frac{1}{2} \sin 2x \right)^2 = \frac{1}{4} \sin^2 2x \] Bước 3: Thay vào tích phân: \[ \int \frac{1}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x} \, dx = \int \frac{1}{\frac{1}{4} \sin^2 2x} \, dx = \int \frac{4}{\sin^2 2x} \, dx = 4 \int \csc^2 2x \, dx \] Bước 4: Tính tích phân của $\csc^2 2x$: \[ \int \csc^2 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cot 2x + C \] Bước 5: Nhân với 4: \[ 4 \int \csc^2 2x \, dx = 4 \left( -\frac{1}{2} \cot 2x + C \right) = -2 \cot 2x + C \] Vậy đáp án đúng là: B. $-2 \cot 2x + C$ Đáp số: B. $-2 \cot 2x + C$ Câu 17. Để tính $\int (\sin 2x - \cos 2x)^2 dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Mở rộng biểu thức trong dấu tích phân: \[ (\sin 2x - \cos 2x)^2 = \sin^2 2x - 2 \sin 2x \cos 2x + \cos^2 2x \] Bước 2: Áp dụng công thức Pythagoras $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$: \[ (\sin 2x - \cos 2x)^2 = 1 - 2 \sin 2x \cos 2x \] Bước 3: Áp dụng công thức nhân đôi $\sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x$: \[ 1 - 2 \sin 2x \cos 2x = 1 - \sin 4x \] Bước 4: Tính tích phân từng phần: \[ \int (1 - \sin 4x) dx = \int 1 dx - \int \sin 4x dx \] Bước 5: Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int 1 dx = x + C_1 \] \[ \int \sin 4x dx = -\frac{1}{4} \cos 4x + C_2 \] Bước 6: Kết hợp lại: \[ \int (1 - \sin 4x) dx = x + C_1 - \left( -\frac{1}{4} \cos 4x + C_2 \right) \] \[ = x + \frac{1}{4} \cos 4x + C \] Vậy đáp án đúng là: D. $x + \frac{1}{4} \cos 4x + C$. Câu 18. Để tính $\int \cos^2 \frac{2x}{3} \, dx$, ta sử dụng công thức hạ bậc cho $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$. Bước 1: Áp dụng công thức hạ bậc: \[ \cos^2 \frac{2x}{3} = \frac{1 + \cos \left(2 \cdot \frac{2x}{3}\right)}{2} = \frac{1 + \cos \frac{4x}{3}}{2} \] Bước 2: Tính tích phân: \[ \int \cos^2 \frac{2x}{3} \, dx = \int \frac{1 + \cos \frac{4x}{3}}{2} \, dx \] Bước 3: Tách tích phân thành hai phần: \[ = \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos \frac{4x}{3} \, dx \] Bước 4: Tính từng phần riêng lẻ: \[ = \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos \frac{4x}{3} \, dx \] \[ = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \int \cos \frac{4x}{3} \, dx \] Bước 5: Tính tích phân của $\cos \frac{4x}{3}$: \[ \int \cos \frac{4x}{3} \, dx = \frac{3}{4} \sin \frac{4x}{3} \] Bước 6: Kết hợp lại: \[ = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \sin \frac{4x}{3} + C \] \[ = \frac{x}{2} + \frac{3}{8} \sin \frac{4x}{3} + C \] Vậy đáp án đúng là: C. $\frac{x}{2} + \frac{3}{8} \sin \frac{4x}{3} + C$ Đáp số: C. $\frac{x}{2} + \frac{3}{8} \sin \frac{4x}{3} + C$