cho tam giác ABC vuông tại A có AH đường cao vẽ đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại D vẽ đường tròn tâm K đường kính HC cắt AC ở E a chứng minh ADHE là hcn b chứng minh AD nhân AB = AE nhân AC c...

a) Ta có $\widehat{ADB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường kính) và $\widehat{AEB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường kính). Do đó, $\widehat{ADH} = \widehat{AEH} = 90^\circ$. Mặt khác, $\widehat{AHD} = 90^\circ$ (vì AH là đường cao hạ từ đỉnh vuông góc của tam giác ABC). Vậy tứ giác ADHE là hình chữ nhật (có 3 góc vuông). b) Ta có $\widehat{ABD} = \widehat{ACH}$ (cùng bù với $\widehat{ABC}$). Do đó, tam giác ABD và tam giác ACH đồng dạng (góc - góc). Từ đó ta có tỉ lệ: $\frac{AD}{AB} = \frac{AH}{AC}$. Nhân cả 2 vế với AB và AC ta được: $AD \times AC = AH \times AB$. Tương tự, tam giác ACH và tam giác ABE đồng dạng (góc - góc). Từ đó ta có tỉ lệ: $\frac{AE}{AC} = \frac{AH}{AB}$. Nhân cả 2 vế với AC và AB ta được: $AE \times AB = AH \times AC$. Vậy $AD \times AB = AE \times AC$. c) Ta có $BC = 5$, $AB = 3$. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABC ta có: $AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$. Ta có $AD \times AB = AE \times AC$. Thay các giá trị đã biết vào ta có: $AD \times 3 = AE \times 4$. Vậy $\frac{AD}{AE} = \frac{4}{3}$. Ta có $DE = \sqrt{AD^2 + AE^2}$. Thay $\frac{AD}{AE} = \frac{4}{3}$ vào ta có: $DE = \sqrt{\left(\frac{4}{3}AE\right)^2 + AE^2} = \sqrt{\frac{16}{9}AE^2 + AE^2} = \sqrt{\frac{25}{9}AE^2} = \frac{5}{3}AE$. Ta có $AE = \frac{3}{5}DE$. Vậy $DE = \frac{5}{3} \times \frac{3}{5}DE = DE$. Diện tích tam giác DEIK là $\frac{1}{2} \times DE \times IK$. Ta có $IK = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \times 5 = 2.5$. Vậy diện tích tam giác DEIK là $\frac{1}{2} \times DE \times 2.5 = \frac{5}{4}DE$. Đáp số: $DE = \frac{5}{3}AE$, Diện tích tam giác DEIK là $\frac{5}{4}DE$.