Hhfghgfggg

Bài 19: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. Phần 1: Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 9 \) Biểu thức \( A = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \) Thay \( x = 9 \): \[ A = \frac{3\sqrt{9}}{\sqrt{9} + 2} = \frac{3 \cdot 3}{3 + 2} = \frac{9}{5} \] Phần 2: Chứng minh \( B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \) Biểu thức \( B = \frac{x + 4}{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x} - 2} \) Chúng ta sẽ biến đổi từng thành phần của biểu thức \( B \): \[ \frac{x + 4}{x - 4} = \frac{(\sqrt{x})^2 + 4}{(\sqrt{x})^2 - 4} = \frac{(\sqrt{x})^2 + 4}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \] \[ \frac{2}{\sqrt{x} - 2} = \frac{2(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{2\sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \] Do đó: \[ B = \frac{(\sqrt{x})^2 + 4}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} - \frac{2\sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{(\sqrt{x})^2 + 4 - (2\sqrt{x} + 4)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \] \[ B = \frac{(\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \] Phần 3: Tìm số nguyên dương \( x \) lớn nhất thỏa mãn \( A - B < \frac{3}{2}x - \sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 3 \) Ta đã có: \[ A = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}, \quad B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \] Do đó: \[ A - B = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \] Yêu cầu: \[ \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} < \frac{3}{2}x - \sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 3 \] \[ \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} < \frac{3}{2}x + 2\sqrt{x} - 3 \] Chúng ta sẽ thử các giá trị \( x \) để tìm giá trị lớn nhất thỏa mãn điều kiện trên. Kiểm tra \( x = 1 \): \[ A - B = \frac{2\sqrt{1}}{\sqrt{1} + 2} = \frac{2}{3} \] \[ \frac{3}{2}(1) + 2\sqrt{1} - 3 = \frac{3}{2} + 2 - 3 = \frac{1}{2} \] \[ \frac{2}{3} > \frac{1}{2} \quad (\text{không thỏa mãn}) \] Kiểm tra \( x = 2 \): \[ A - B = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 2} \] \[ \frac{3}{2}(2) + 2\sqrt{2} - 3 = 3 + 2\sqrt{2} - 3 = 2\sqrt{2} \] \[ \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 2} < 2\sqrt{2} \quad (\text{thỏa mãn}) \] Kiểm tra \( x = 3 \): \[ A - B = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2} \] \[ \frac{3}{2}(3) + 2\sqrt{3} - 3 = \frac{9}{2} + 2\sqrt{3} - 3 = \frac{3}{2} + 2\sqrt{3} \] \[ \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2} < \frac{3}{2} + 2\sqrt{3} \quad (\text{thỏa mãn}) \] Kiểm tra \( x = 4 \): \( x = 4 \) không thỏa mãn vì \( x \neq 4 \). Kiểm tra \( x = 5 \): \[ A - B = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5} + 2} \] \[ \frac{3}{2}(5) + 2\sqrt{5} - 3 = \frac{15}{2} + 2\sqrt{5} - 3 = \frac{9}{2} + 2\sqrt{5} \] \[ \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5} + 2} < \frac{9}{2} + 2\sqrt{5} \quad (\text{thỏa mãn}) \] Kiểm tra \( x = 6 \): \[ A - B = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6} + 2} \] \[ \frac{3}{2}(6) + 2\sqrt{6} - 3 = 9 + 2\sqrt{6} - 3 = 6 + 2\sqrt{6} \] \[ \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6} + 2} < 6 + 2\sqrt{6} \quad (\text{thỏa mãn}) \] Kiểm tra \( x = 7 \): \[ A - B = \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{7} + 2} \] \[ \frac{3}{2}(7) + 2\sqrt{7} - 3 = \frac{21}{2} + 2\sqrt{7} - 3 = \frac{15}{2} + 2\sqrt{7} \] \[ \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{7} + 2} < \frac{15}{2} + 2\sqrt{7} \quad (\text{thỏa mãn}) \] Kiểm tra \( x = 8 \): \[ A - B = \frac{2\sqrt{8}}{\sqrt{8} + 2} \] \[ \frac{3}{2}(8) + 2\sqrt{8} - 3 = 12 + 2\sqrt{8} - 3 = 9 + 2\sqrt{8} \] \[ \frac{2\sqrt{8}}{\sqrt{8} + 2} < 9 + 2\sqrt{8} \quad (\text{thỏa mãn}) \] Kiểm tra \( x = 9 \): \[ A - B = \frac{2\sqrt{9}}{\sqrt{9} + 2} = \frac{6}{5} \] \[ \frac{3}{2}(9) + 2\sqrt{9} - 3 = \frac{27}{2} + 6 - 3 = \frac{27}{2} + 3 = \frac{33}{2} \] \[ \frac{6}{5} < \frac{33}{2} \quad (\text{thỏa mãn}) \] Kiểm tra \( x = 10 \): \[ A - B = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{10} + 2} \] \[ \frac{3}{2}(10) + 2\sqrt{10} - 3 = 15 + 2\sqrt{10} - 3 = 12 + 2\sqrt{10} \] \[ \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{10} + 2} < 12 + 2\sqrt{10} \quad (\text{thỏa mãn}) \] Từ các kiểm tra trên, ta thấy rằng \( x = 9 \) là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn điều kiện. Đáp số: \( x = 9 \) Bài 20 Để giải quyết yêu cầu của bạn, chúng ta sẽ thực hiện từng phần của câu hỏi một cách chi tiết. Phần 1: Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 16 \) Biểu thức \( A = \frac{x}{\sqrt{x} - 3} \) Thay \( x = 16 \) vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{16}{\sqrt{16} - 3} \] Tính căn bậc hai của 16: \[ \sqrt{16} = 4 \] Do đó: \[ A = \frac{16}{4 - 3} = \frac{16}{1} = 16 \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 16 \) là 16. Phần 2: Chứng minh \( B = \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3} \) Biểu thức \( B = \frac{2x - 3}{x - 3\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} \) Đầu tiên, ta viết lại biểu thức \( B \) dưới dạng chung: \[ B = \frac{2x - 3}{x - 3\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} \] Chúng ta sẽ quy đồng mẫu số của hai phân số này. Mẫu số chung là \( x - 3\sqrt{x} \): \[ B = \frac{(2x - 3) - (\sqrt{x})(x - 3\sqrt{x})}{x - 3\sqrt{x}} \] Phân tích biểu thức ở tử số: \[ B = \frac{2x - 3 - (x\sqrt{x} - 3x)}{x - 3\sqrt{x}} \] Rút gọn biểu thức ở tử số: \[ B = \frac{2x - 3 - x\sqrt{x} + 3x}{x - 3\sqrt{x}} \] \[ B = \frac{2x + 3x - 3 - x\sqrt{x}}{x - 3\sqrt{x}} \] \[ B = \frac{5x - 3 - x\sqrt{x}}{x - 3\sqrt{x}} \] Chúng ta nhận thấy rằng biểu thức trên có thể được viết lại theo cách khác để dễ dàng hơn: Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Bài 21: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu: 1) Tính giá trị biểu thức \( A \) khi \( x = 9 \): \[ A = 5 - 5\sqrt{x} \] Thay \( x = 9 \) vào biểu thức: \[ A = 5 - 5\sqrt{9} = 5 - 5 \times 3 = 5 - 15 = -10 \] 2) Rút gọn biểu thức \( B \): \[ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{5}{\sqrt{x} + 1} - \frac{8\sqrt{x} - 6}{x - 1} \] Đầu tiên, ta viết lại biểu thức \( B \) dưới dạng chung với mẫu số là \( (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) = x - 1 \): \[ B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{x - 1} + \frac{5(\sqrt{x} - 1)}{x - 1} - \frac{8\sqrt{x} - 6}{x - 1} \] \[ B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1) + 5(\sqrt{x} - 1) - (8\sqrt{x} - 6)}{x - 1} \] \[ B = \frac{x + \sqrt{x} + 5\sqrt{x} - 5 - 8\sqrt{x} + 6}{x - 1} \] \[ B = \frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{x - 1} \] \[ B = \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{x - 1} \] \[ B = \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ B = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \] 3) Tìm các giá trị của \( x \) để \( \frac{A}{B} > \sqrt{x} - 12 \): \[ \frac{A}{B} = \frac{5 - 5\sqrt{x}}{\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}} = (5 - 5\sqrt{x}) \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \] \[ \frac{A}{B} = \frac{(5 - 5\sqrt{x})(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 1} \] \[ \frac{A}{B} = \frac{5\sqrt{x} + 5 - 5x - 5\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \] \[ \frac{A}{B} = \frac{5 - 5x}{\sqrt{x} - 1} \] \[ \frac{A}{B} = \frac{-5(x - 1)}{\sqrt{x} - 1} \] \[ \frac{A}{B} = -5(\sqrt{x} + 1) \] Ta cần giải bất phương trình: \[ -5(\sqrt{x} + 1) > \sqrt{x} - 12 \] \[ -5\sqrt{x} - 5 > \sqrt{x} - 12 \] \[ -6\sqrt{x} > -7 \] \[ \sqrt{x} < \frac{7}{6} \] \[ x < \left( \frac{7}{6} \right)^2 \] \[ x < \frac{49}{36} \] Vậy các giá trị của \( x \) thỏa mãn điều kiện là: \[ 0 \leq x < \frac{49}{36}; x \neq 1 \]