Cho x,y là các số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn $$. Chứng minh M=x² + y² - xy là bình phương của một số hữu tỉ.

Để chứng minh rằng $$ là bình phương của một số hữu tỉ, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét điều kiện xác định (ĐKXĐ) - $$ - $$ Bước 2: Chuyển đổi phương trình đã cho Ta có: $$ Bước 3: Nhân cả hai vế với $$ để loại bỏ mẫu số: $$ Bước 4: Mở ngoặc và thu gọn: $$ $$ $$ Bước 5: Thu gọn và chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: $$ $$ Bước 6: Chia cả hai vế cho 3: $$ Bước 7: Đặt $$ và $$: $$ Bước 8: Ta thấy rằng $$, do đó $$ hoặc $$: - Nếu $$, thì $$ - Nếu $$, thì $$ Bước 9: Thay $$ hoặc $$ vào biểu thức $$: - Nếu $$: $$ - Nếu $$: $$ Bước 10: Ta nhận thấy rằng trong cả hai trường hợp, biểu thức $$ đều có dạng $$ hoặc $$, tức là $$ là bình phương của một số hữu tỉ. Vậy, ta đã chứng minh được rằng $$ là bình phương của một số hữu tỉ.