giải chi tiết

Câu 20: Gọi khoảng cách giữa hai chân lều liên tiếp là $x$ (cm). Ta có: $\frac{x}{2} = 270 . \sin (\frac{55^o}{2})$ $x = 270 . \sin (\frac{55^o}{2}) . 2$ $x \approx 206,1$ (cm) Đáp số: 206,1 cm. Câu 21: Trước tiên, ta xác định các thông số và tính toán cần thiết để giải bài toán này. 1. Xác định các thông số: - \(SA = a\) - \(AB = 2a\) - \(AD = a\sqrt{2}\) 2. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AHK): - Ta cần tìm khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AHK). Để làm điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian. 3. Lập hệ tọa độ: - Chọn gốc tọa độ tại điểm A, trục Ox dọc theo AB, trục Oy dọc theo AD và trục Oz dọc theo SA. - Các điểm có tọa độ: - \(A(0, 0, 0)\) - \(B(2a, 0, 0)\) - \(D(0, a\sqrt{2}, 0)\) - \(S(0, 0, a)\) 4. Tìm tọa độ của H và K: - H là hình chiếu của A trên SB, do đó H nằm trên SB và AH vuông góc với SB. - K là hình chiếu của A trên SD, do đó K nằm trên SD và AK vuông góc với SD. 5. Phương trình đường thẳng SB và SD: - Đường thẳng SB đi qua S(0, 0, a) và B(2a, 0, 0): \[ \frac{x-0}{2a} = \frac{y-0}{0} = \frac{z-a}{-a} \] Tọa độ H là \((x_H, y_H, z_H)\) thỏa mãn: \[ x_H = 2at, \quad y_H = 0, \quad z_H = a(1-t) \] Vì AH vuông góc với SB, ta có: \[ \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{SB} = 0 \] \[ (2at, 0, a(1-t)) \cdot (2a, 0, -a) = 0 \] \[ 4a^2t - a^2(1-t) = 0 \implies 4t - (1-t) = 0 \implies 5t = 1 \implies t = \frac{1}{5} \] Do đó, tọa độ H là: \[ H\left(\frac{2a}{5}, 0, \frac{4a}{5}\right) \] - Đường thẳng SD đi qua S(0, 0, a) và D(0, a√2, 0): \[ \frac{x-0}{0} = \frac{y-0}{a\sqrt{2}} = \frac{z-a}{-a} \] Tọa độ K là \((x_K, y_K, z_K)\) thỏa mãn: \[ x_K = 0, \quad y_K = a\sqrt{2}t, \quad z_K = a(1-t) \] Vì AK vuông góc với SD, ta có: \[ \overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{SD} = 0 \] \[ (0, a\sqrt{2}t, a(1-t)) \cdot (0, a\sqrt{2}, -a) = 0 \] \[ 2a^2t - a^2(1-t) = 0 \implies 2t - (1-t) = 0 \implies 3t = 1 \implies t = \frac{1}{3} \] Do đó, tọa độ K là: \[ K\left(0, \frac{a\sqrt{2}}{3}, \frac{2a}{3}\right) \] 6. Phương trình mặt phẳng (AHK): - Mặt phẳng (AHK) đi qua A(0, 0, 0), H\(\left(\frac{2a}{5}, 0, \frac{4a}{5}\right)\), K\(\left(0, \frac{a\sqrt{2}}{3}, \frac{2a}{3}\right)\). - Vector pháp tuyến của mặt phẳng (AHK) là: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AH} \times \overrightarrow{AK} \] \[ \overrightarrow{AH} = \left(\frac{2a}{5}, 0, \frac{4a}{5}\right), \quad \overrightarrow{AK} = \left(0, \frac{a\sqrt{2}}{3}, \frac{2a}{3}\right) \] \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{2a}{5} & 0 & \frac{4a}{5} \\ 0 & \frac{a\sqrt{2}}{3} & \frac{2a}{3} \end{vmatrix} = \left(-\frac{4a^2\sqrt{2}}{15}, -\frac{4a^2}{15}, \frac{2a^2\sqrt{2}}{15}\right) \] Phương trình mặt phẳng (AHK) là: \[ -\frac{4a^2\sqrt{2}}{15}x - \frac{4a^2}{15}y + \frac{2a^2\sqrt{2}}{15}z = 0 \] \[ -4\sqrt{2}x - 4y + 2\sqrt{2}z = 0 \] \[ 2\sqrt{2}x + 2y - \sqrt{2}z = 0 \] 7. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AHK): - Điểm B có tọa độ (2a, 0, 0). - Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AHK) là: \[ d = \frac{|2\sqrt{2}(2a) + 2(0) - \sqrt{2}(0)|}{\sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 2^2 + (-\sqrt{2})^2}} \] \[ d = \frac{|4\sqrt{2}a|}{\sqrt{8 + 4 + 2}} = \frac{4\sqrt{2}a}{\sqrt{14}} = \frac{4\sqrt{2}a}{\sqrt{14}} = \frac{4\sqrt{2}a}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{7}} = \frac{4a}{\sqrt{7}} = \frac{4a\sqrt{7}}{7} \] 8. Tính giá trị của \(m-n\): - Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AHK) là \(\frac{4a\sqrt{7}}{7}\). - Do đó, \(m = 4\) và \(n = 7\). - Giá trị của \(m-n\) là: \[ m - n = 4 - 7 = -3 \] Đáp số: \(-3\) Câu 22: Để tính thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tâm O của đáy ABCD: Vì đáy ABCD là hình bình hành, tâm O của đáy là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. 2. Xác định tính chất của SA, SB, SC, SD: Ta biết rằng \(SA = SB = SC = SD = 3\sqrt{6}\). Điều này cho thấy S nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD đi qua tâm O của đáy. 3. Xác định chiều cao SO của khối chóp: Gọi SO là chiều cao của khối chóp từ đỉnh S hạ vuông góc xuống đáy ABCD. Ta cần tìm độ dài SO để tính thể tích. 4. Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: Thể tích \(V\) của khối chóp S.ABCD được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] 5. Tính diện tích đáy ABCD: Diện tích đáy ABCD là diện tích của hình bình hành với cạnh \(AD = 12\). Để tính diện tích lớn nhất, ta giả sử đáy ABCD là hình vuông (vì trong các hình bình hành có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất). Do đó, diện tích đáy là: \[ S_{ABCD} = AD^2 = 12^2 = 144 \] 6. Tìm chiều cao SO: Xét tam giác SOD vuông tại O, ta có: \[ SO^2 + OD^2 = SD^2 \] Biết \(SD = 3\sqrt{6}\) và \(OD = \frac{AD}{2} = 6\), ta thay vào: \[ SO^2 + 6^2 = (3\sqrt{6})^2 \] \[ SO^2 + 36 = 54 \] \[ SO^2 = 18 \] \[ SO = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] 7. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp: Thay diện tích đáy và chiều cao vào công thức thể tích: \[ V = \frac{1}{3} \times 144 \times 3\sqrt{2} = 144\sqrt{2} \] Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là \(144\sqrt{2}\).