Câu 9:
Để tính tọa độ của vectơ , ta thực hiện phép trừ tọa độ của điểm M từ tọa độ của điểm N.
Tọa độ của điểm M là (1; -2; 4).
Tọa độ của điểm N là (-2; 3; 5).
Tọa độ của vectơ sẽ là:
Thay tọa độ của M và N vào công thức trên:
Vậy tọa độ của vectơ là (-3; 5; 1).
Do đó, đáp án đúng là:
A.
Câu 10:
Để tính tích vô hướng của hai vectơ và , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm tọa độ của các vectơ và .
Tọa độ của :
Tọa độ của :
2. Tính tích vô hướng của và .
Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ và là:
Áp dụng công thức này vào tọa độ của và :
Vậy tích vô hướng của và là 2.
Đáp án đúng là: C.
Câu 11:
Để tính khoảng cách từ điểm M(-2; -4; 3) đến mặt phẳng (P) có phương trình 2x - y + 2z - 3 = 0, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:
Trong đó:
-
-
-
-
-
-
-
Thay các giá trị vào công thức:
Vậy khoảng cách từ điểm M(-2; -4; 3) đến mặt phẳng (P) là 1.
Đáp án đúng là B. 1
Câu 12:
Để tìm tọa độ của điểm N sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MN, ta sử dụng công thức tính tọa độ trung điểm.
Giả sử tọa độ của điểm N là (x; y; z). Vì I là trung điểm của MN, ta có:
Biết rằng tọa độ của I là (12; 5; 0), ta có thể lập hệ phương trình sau:
Giải từng phương trình:
1.
2.
3.
Vậy tọa độ của điểm N là (24; 7; -7).
Do đó, đáp án đúng là:
D. N(24; 7; -7)
Câu 13:
Mặt phẳng (P) có phương trình: x - 2z + 3y - 1 = 0
Ta viết lại phương trình dưới dạng: x + 3y - 2z - 1 = 0
Từ phương trình này, ta thấy rằng véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) sẽ có các thành phần tương ứng với các hệ số của x, y và z trong phương trình.
Do đó, véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:
vec n = (1; 3; -2)
Như vậy, đáp án đúng là:
A. vec n = (1; 3; -2)
Câu 14:
Để tìm tọa độ của véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ và , ta thực hiện phép nhân vectơ (còn gọi là tích ngoài) của hai véc tơ này.
Tích ngoài của hai véc tơ và được tính theo công thức:
Áp dụng vào bài toán:
Ta có:
Vậy tọa độ của véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ và là .
Do đó, đáp án đúng là:
B. (5; 1; 7).
Câu 15:
Để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của chúng phải bằng 0.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là .
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là .
Tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến này là:
Ta tính cụ thể:
Để hai mặt phẳng vuông góc, ta có:
Giải phương trình này:
Vậy giá trị của để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau là .
Đáp án đúng là: A. m = -1
Câu 16:
Phương trình của mặt phẳng (Oyz) là phương trình của mặt phẳng đi qua trục Oy và Oz, tức là phương trình của mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với trục Ox.
Do đó, phương trình của mặt phẳng (Oyz) là:
Vậy khẳng định đúng là:
A. phương trình của mặt phẳng (Oyz) là: x = 0
Đáp án: A. phương trình của mặt phẳng (Oyz) là: x = 0
Câu 17:
Để viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC, ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định tọa độ các điểm A, B, C:
- Mặt phẳng (P) cắt trục Ox tại điểm A(a; 0; 0).
- Mặt phẳng (P) cắt trục Oy tại điểm B(0; b; 0).
- Mặt phẳng (P) cắt trục Oz tại điểm C(0; 0; c).
2. Phương trình mặt phẳng (P) trong dạng đoạn thẳng:
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
3. Tính tọa độ trọng tâm của tam giác ABC:
Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ:
Vì M là trọng tâm của tam giác ABC, nên:
Từ đó suy ra:
4. Viết phương trình mặt phẳng (P):
Thay , , vào phương trình mặt phẳng (P):
Nhân cả hai vế với 18 để loại bỏ mẫu số:
Hay:
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
Đáp án đúng là: C. (P): 6x + 3y + 2z - 18 = 0
Câu 18:
Để tìm tọa độ của điểm M đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (Oyz), ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định tọa độ của điểm A: Điểm A có tọa độ là (1; -2; 3).
2. Hiểu về tính chất đối xứng qua mặt phẳng (Oyz):
- Mặt phẳng (Oyz) là mặt phẳng đi qua trục Oy và Oz.
- Khi một điểm đối xứng qua mặt phẳng (Oyz), tọa độ y và z giữ nguyên, còn tọa độ x sẽ đổi dấu.
3. Áp dụng tính chất đối xứng:
- Tọa độ y của điểm A là -2, giữ nguyên.
- Tọa độ z của điểm A là 3, giữ nguyên.
- Tọa độ x của điểm A là 1, đổi dấu thành -1.
Do đó, tọa độ của điểm M đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (Oyz) là (-1; -2; 3).
Vậy đáp án đúng là:
B. M(-1; -2; 3).
Câu 19:
Để viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng MN tại điểm N, ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):
- Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng MN tại điểm N, do đó vectơ MN sẽ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
2. Tính vectơ MN:
- Tọa độ của điểm M là (5; -1; 3)
- Tọa độ của điểm N là (7; -5; 1)
- Vectơ MN = (7 - 5; -5 - (-1); 1 - 3) = (2; -4; -2)
3. Viết phương trình mặt phẳng (P):
- Phương trình mặt phẳng có dạng: , trong đó (a, b, c) là vectơ pháp tuyến và (x_0, y_0, z_0) là tọa độ của điểm thuộc mặt phẳng.
- Ở đây, vectơ pháp tuyến là (2, -4, -2) và điểm N(7, -5, 1) thuộc mặt phẳng.
- Thay vào phương trình mặt phẳng, ta có:
- Rút gọn phương trình:
4. Chọn đáp án đúng:
- Phương trình mặt phẳng (P) là . Ta thấy rằng đáp án này không nằm trong các lựa chọn đã cho. Do đó, ta kiểm tra lại các phương án đã cho để tìm phương án đúng.
- Kiểm tra lại các phương án:
- A. 2x - 4y - 2z - 15 = 0
- C. x - 2y - z - 16 = 0
- B. 2x - 4y - 2z + 3 = 0
- D. x - 2y - z - 18 = 0
- Ta thấy rằng phương trình có thể được chia cả hai vế cho 2 để đơn giản hóa thành .
Do đó, phương án đúng là:
Câu 20:
Trong không gian Oxyz, cho vector .
Tọa độ của vector sẽ là các hệ số của các đơn vị vector , và .
Do đó:
- Hệ số của là 2.
- Hệ số của là 3.
- Hệ số của là -4.
Vậy tọa độ của vector là .
Đáp án đúng là:
D. .