Thi tuyển vào lớp 10

Bài 1. 1) Giải phương trình $$. Phương pháp: - Ta sử dụng phương pháp phân tích để giải phương trình bậc hai này. Bước 1: Tìm hai số có tổng là -6 và tích là 8. Ta thấy hai số đó là -2 và -4. Bước 2: Viết lại phương trình dưới dạng nhân tử: $$ Bước 3: Áp dụng tính chất của tích bằng 0: $$ Bước 4: Giải các phương trình đơn giản: $$ $$ Vậy nghiệm của phương trình là $$ hoặc $$. 2) Giải hệ phương trình $$. Phương pháp: - Ta sử dụng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình này. Bước 1: Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với 5 và phương trình thứ hai với 2 để đồng nhất hệ số của $$: $$ $$ Bước 2: Cộng hai phương trình đã nhân: $$ Bước 3: Giải phương trình $$: $$ Bước 4: Thay $$ vào phương trình $$: $$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $$ và $$. 3) Giải bất phương trình $$. Phương pháp: - Ta sử dụng phương pháp giải bất phương trình bậc nhất một ẩn. Bước 1: Chuyển 10 sang phía bên phải: $$ Bước 2: Chia cả hai vế cho 2: $$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $$. Bài 2. 1) Vẽ đồ thị của hàm số $$: - Ta có thể lập bảng giá trị của hàm số để vẽ đồ thị: | x | y | |---|---| | -2 | 8 | | -1 | 2 | | 0 | 0 | | 1 | 2 | | 2 | 8 | - Vẽ các điểm trên hệ trục tọa độ và nối chúng thành một đường cong. 2) Lập bảng tầng số tương đối của mẫu dữ liệu thống kê năm chữ cái b, n, o, t, v trong câu "Học hành vất vả kết quả ngọt bùi": - Đếm số lần xuất hiện của mỗi chữ cái: - Chữ "b": 2 lần - Chữ "n": 2 lần - Chữ "o": 2 lần - Chữ "t": 2 lần - Chữ "v": 2 lần - Tổng số chữ cái trong câu là 10. - Tầng số tương đối của mỗi chữ cái: - Chữ "b": $$ - Chữ "n": $$ - Chữ "o": $$ - Chữ "t": $$ - Chữ "v": $$ Bảng tầng số tương đối: | Chữ cái | Tầng số tương đối | |---------|------------------| | b | 0,2 | | n | 0,2 | | o | 0,2 | | t | 0,2 | | v | 0,2 | 3) Tính xác suất để cả 2 học sinh được chọn đều là học sinh nữ: - Số học sinh nữ: 3 - Số học sinh nam: 2 - Tổng số học sinh: 5 - Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh: $$ - Số cách chọn 2 học sinh nữ từ 3 học sinh nữ: $$ - Xác suất để cả 2 học sinh được chọn đều là học sinh nữ: $$ Đáp số: 1) Đồ thị của hàm số $$ đã được vẽ. 2) Bảng tầng số tương đối đã được lập. 3) Xác suất để cả 2 học sinh được chọn đều là học sinh nữ là $$. Bài 3. 1) Ta có $$. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $$ và $$. Theo định lý Vi-et ta có: $$ và $$. Ta có: $$ $$ $$ $$. 2) Gọi chiều dài và chiều rộng của thửa đất là a và b (m, a > 0, b > 0). Theo đề bài ta có: $$ (1) $$ (2) Từ (1) ta có $$. Thay vào (2) ta được: $$ $$ Giải phương trình này ta được $$ hoặc $$ (loại). Vậy $$, $$. Chu vi của thửa đất là $$ (m). Chiều dài phần tường là $$ (m). Số tiền dự định xây bức tường là $$ (triệu đồng). 3) Điều kiện xác định: $$. Ta có: $$ $$ $$ $$ $$. Để P nhận giá trị nguyên thì $$ phải là ước của 2. Vậy $$ hoặc $$. $$ hoặc $$. $$ hoặc $$ (loại). Vậy $$. Bài 4. 1) Để tính gần đúng độ dài nhỏ nhất của dây nối giữa hai thiết bị A và B, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian. - Đầu tiên, ta xác định tọa độ của các điểm: - Điểm H có tọa độ (0, 0, 0) - Điểm B có tọa độ (0, 0, 3,146) - Độ dài nhỏ nhất của dây nối giữa A và B là khoảng cách giữa hai điểm này trong không gian. Ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: $$ - Vì A và B nằm trên cùng một đường thẳng đứng, nên khoảng cách giữa chúng là: $$ Vậy độ dài nhỏ nhất của dây đó là 3,146 m. 2) Để tính gần đúng thể tích của một hộp sữa có dạng hình trụ, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính thể tích của hình trụ: $$ - Trong đó: - $$ là bán kính đáy của hình trụ - $$ là chiều cao của hình trụ - Thay các giá trị đã cho vào công thức: $$ - Tính toán: $$ - Sử dụng giá trị gần đúng của $$ là 3,14: $$ Vậy thể tích của hộp sữa là 362,8 cm³ (làm tròn đến hàng phần mười). Bài 5. 1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. - Ta có: $$ (vì AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)). - Do đó, tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). 2) Vẽ đường kính BD của (O). Chứng minh hai đường thẳng AO và CD song song với nhau. - Ta có: $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Xét tam giác ABD và tam giác COD: + $$ + $$ (cùng chắn cung BD) - Do đó, tam giác ABD và tam giác COD đồng dạng (góc-góc). - Từ đó ta có: $$ - Vì AB = OC (tính chất tiếp tuyến), nên ta có: $$ hay AD = CD. - Do đó, tam giác AOD và tam giác COD là tam giác cân tại O. - Suy ra: $$ - Vậy AO // CD (hai góc so le trong bằng nhau). 3) Đường thẳng đi qua điểm O vuông góc với AD cắt đường thẳng BC tại điểm E. Chứng minh ED là tiếp tuyến của (O). - Ta có: $$ (theo đề bài). - Xét tam giác AOD và tam giác COD: + OA = OC (tính chất đường kính) + OD chung + $$ - Do đó, tam giác AOD và tam giác COD bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông). - Suy ra: $$ - Vì $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), nên $$. - Vậy ED là tiếp tuyến của (O) (tiếp tuyến vuông góc với bán kính). Đáp số: 1) Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. 2) AO // CD. 3) ED là tiếp tuyến của (O).