Haieieudnsjsu Cho tứ diện ABCD có $AB=AC=AD=1$ và,$\widehat{BAD}=\widehat{BAC}=60^0,\widehat{CAD}=90^0.$ Gọi I là điểm trên,cạnh AB sao cho $AI=3IB$ và J là trung điểm của CD.,,Chọn đúng hoặc sai,$a)~(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=60^0.$ Đúng Sai,b) Tam giác BCD là tam giác đều . Đúng Sai,$c)~\overrightarrow{AJ}=\frac32(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}).$ Đúng Sai,d) Độ dài đoạn thẳng I,J bằng $\frac{\sqrt5}4.$ Đúng Sai

Question

Haieieudnsjsu Cho tứ diện ABCD có $AB=AC=AD=1$ và,$\widehat{BAD}=\widehat{BAC}=60^0,\widehat{CAD}=90^0.$ Gọi I là điểm trên,cạnh AB sao cho $AI=3IB$ và J là trung điểm của CD.,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/543eb3a39d0042949f0f6fcfbca3ac7f.jpg />,Chọn đúng hoặc sai,$a)~(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=60^0.$ Đúng Sai,b) Tam giác BCD là tam giác đều . Đúng Sai,$c)~\overrightarrow{AJ}=\frac32(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}).$ Đúng Sai,d) Độ dài đoạn thẳng I,J bằng $\frac{\sqrt5}4.$ Đúng Sai

Accepted Answer

a) Đúng vì góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là góc giữa hai cạnh AB và AC của tứ diện ABCD, mà theo đề bài $\widehat{BAC} = 60^\circ$.

b) Đúng vì:
- Ta có $BC = BD = CD = 1$ (do $AB = AC = AD = 1$ và các góc $\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^\circ$, $\widehat{CAD} = 90^\circ$).
- Do đó, tam giác BCD là tam giác đều.

c) Sai vì:
- J là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{AJ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})$.

d) Đúng vì:

Ta có: $\vec{A C} . \vec{A D} = 0$ ; $\vec{A B} . \vec{A D} = A B . A D . c o s 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ ; $\vec{A C} . \vec{A B} = \frac{1}{2}$ .

$\Rightarrow I J^{2} = {\vec{I J}}^{2} = \frac{1}{4} {(\vec{A C} + \vec{A D} - \frac{3}{2} \vec{A B})}^{2} = \frac{1}{4} (\frac{17}{4} + 2 \vec{A C} . \vec{A D} - 3 \vec{A C} . \vec{A B} - 3 \vec{A B} . \vec{A D}) = \frac{5}{16}$ .

$\Rightarrow I J = \frac{\sqrt{5}}{4} \approx 0, 56.$