giải gấp Jjkjjj

Bước 1: Khoảng cách từ \( O(0, 0) \) đến đường bao**

Khoảng cách \( d \) từ \( O(0, 0) \) đến điểm \( P(x, y) \) trên đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 + 1}{x} \) là:

\[
d = \sqrt{x^2 + y^2}.
\]

Thay \( y = \frac{x^2 + 1}{x} \) vào:

\[
d = \sqrt{x^2 + \left(\frac{x^2 + 1}{x}\right)^2} = \sqrt{\frac{x^4 + (x^2 + 1)^2}{x^2}} = \frac{\sqrt{2x^4 + 2x^2 + 1}}{|x|}.
\]

Do khoảng cách không âm, ta xét \( f(x) = \frac{\sqrt{2x^4 + 2x^2 + 1}}{x} \) với \( x > 0 \).

---
**Bước 2: Tìm giá trị \( x \) tối thiểu hóa \( f(x) \)**

Đạo hàm \( f(x) \) là:

\[
f(x) = \frac{\sqrt{2x^4 + 2x^2 + 1}}{x}.
\]

Tính đạo hàm:

\[
f'(x) = \frac{\left(4x^3 + 2x\right)x - \sqrt{2x^4 + 2x^2 + 1}}{x^2 \sqrt{2x^4 + 2x^2 + 1}}.
\]

Rút gọn tử số:

\[
f'(x) = \frac{4x^4 + 2x^2 - \left(2x^4 + 2x^2 + 1\right)}{x^2 \sqrt{2x^4 + 2x^2 + 1}} = \frac{2x^4 - 1}{x^2 \sqrt{2x^4 + 2x^2 + 1}}.
\]

Giải \( f'(x) = 0 \):

\[
2x^4 - 1 = 0 \implies x^4 = \frac{1}{2} \implies x = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}}.
\]

---

Bước 3: Tính khoảng cách tối thiểu**

Thay \( x = \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \) vào hàm \( f(x) \):

\[
f(x) = \frac{\sqrt{2x^4 + 2x^2 + 1}}{x}.
\]

Với \( x^4 = \frac{1}{2} \), ta có \( x^2 = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \). Thay vào \( f(x) \):

\[
f(x) = \frac{\sqrt{2\left(\frac{1}{2}\right) + 2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 1}}{\frac{1}{\sqrt[4]{2}}}.
\]

Rút gọn tử số:

\[
\text{Tử số: } 2\left(\frac{1}{2}\right) = 1, \quad 2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2}.
\]

\[
f(x) = \frac{\sqrt{1 + \sqrt{2} + 1}}{\frac{1}{\sqrt[4]{2}}} = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}}.
\]

Giá trị này tính bằng máy là:

\[
f(x) \approx 2,2 \, \text{(km)}.
\]

---

### **Kết quả cuối cùng**

Độ dài ngắn nhất của tuyến cáp treo là **2,2 km**.