gọi x1;x2 là hai nghiệm của phương trình x^2-4x-7=0. Tính giá trị của biểu thức T=x1/x2 +x2/x1 -2

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tổng và tích của các nghiệm của phương trình bậc hai.
Bước 2: Áp dụng công thức để tính giá trị của biểu thức $ T $.

Bước 1: Tìm tổng và tích của các nghiệm của phương trình bậc hai

Phương trình đã cho là:
$$ x^2 - 4x - 7 = 0 $$

Theo định lý Vi-et, tổng và tích của các nghiệm $ x_1 $ và $ x_2 $ của phương trình bậc hai $ ax^2 + bx + c = 0 $ được cho bởi:
$$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $$
$$ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $$

Áp dụng vào phương trình $ x^2 - 4x - 7 = 0 $:
$$ a = 1, \quad b = -4, \quad c = -7 $$

Tổng của các nghiệm:
$$ x_1 + x_2 = -\frac{-4}{1} = 4 $$

Tích của các nghiệm:
$$ x_1 \cdot x_2 = \frac{-7}{1} = -7 $$

Bước 2: Áp dụng công thức để tính giá trị của biểu thức $ T $

Biểu thức cần tính là:
$$ T = \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} - 2 $$

Ta có thể viết lại biểu thức này dưới dạng:
$$ T = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 \cdot x_2} - 2 $$

Biến đổi $ x_1^2 + x_2^2 $ theo công thức:
$$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 \cdot x_1 \cdot x_2 $$

Thay các giá trị đã tìm được vào:
$$ x_1^2 + x_2^2 = 4^2 - 2 \cdot (-7) = 16 + 14 = 30 $$

Do đó:
$$ T = \frac{30}{-7} - 2 = -\frac{30}{7} - 2 = -\frac{30}{7} - \frac{14}{7} = -\frac{44}{7} $$

Vậy giá trị của biểu thức $ T $ là:
$$ T = -\frac{44}{7} $$