giup voi aa

Câu 18: Để tính dung tích của chậu, ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân để tính thể tích của vật thể quay xung quanh trục. Chậu có hình dạng như một vật thể quay xung quanh trục, và mặt cắt của nó là một hình tròn với bán kính thay đổi theo vị trí trên chiều cao của chậu. Bước 1: Xác định bán kính của mặt cắt. Theo đề bài, nếu cắt chậu nước ở vị trí cách mặt đáy \(x\) cm, thì mặt cắt là hình tròn có bán kính \((10 + \sqrt{x})\) cm. Bước 2: Viết phương trình diện tích mặt cắt. Diện tích của một hình tròn là \(A(x) = \pi r^2\). Ở đây, bán kính \(r = 10 + \sqrt{x}\), nên diện tích mặt cắt là: \[ A(x) = \pi (10 + \sqrt{x})^2 \] Bước 3: Tính thể tích của chậu bằng phương pháp tích phân. Thể tích của vật thể quay xung quanh trục từ \(x = 0\) đến \(x = 16\) là: \[ V = \int_{0}^{16} A(x) \, dx = \int_{0}^{16} \pi (10 + \sqrt{x})^2 \, dx \] Bước 4: Thực hiện tích phân. Ta có: \[ V = \pi \int_{0}^{16} (10 + \sqrt{x})^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{16} (100 + 20\sqrt{x} + x) \, dx \] Tách tích phân thành các phần riêng lẻ: \[ V = \pi \left[ \int_{0}^{16} 100 \, dx + \int_{0}^{16} 20\sqrt{x} \, dx + \int_{0}^{16} x \, dx \right] \] Tính từng phần: \[ \int_{0}^{16} 100 \, dx = 100x \Big|_{0}^{16} = 100 \times 16 - 100 \times 0 = 1600 \] \[ \int_{0}^{16} 20\sqrt{x} \, dx = 20 \int_{0}^{16} x^{1/2} \, dx = 20 \left( \frac{2}{3} x^{3/2} \right) \Big|_{0}^{16} = 20 \left( \frac{2}{3} \times 16^{3/2} \right) = 20 \left( \frac{2}{3} \times 64 \right) = 20 \times \frac{128}{3} = \frac{2560}{3} \] \[ \int_{0}^{16} x \, dx = \frac{1}{2} x^2 \Big|_{0}^{16} = \frac{1}{2} \times 16^2 - \frac{1}{2} \times 0^2 = \frac{1}{2} \times 256 = 128 \] Gộp lại: \[ V = \pi \left( 1600 + \frac{2560}{3} + 128 \right) \] \[ V = \pi \left( 1600 + 128 + \frac{2560}{3} \right) \] \[ V = \pi \left( 1728 + \frac{2560}{3} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{5184}{3} + \frac{2560}{3} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{7744}{3} \right) \] \[ V = \frac{7744\pi}{3} \] Vậy dung tích của chậu là: \[ V = \frac{7744\pi}{3} \text{ cm}^3 \] Câu 19: Để tính thể tích của lều mái xòm, ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân để tính thể tích của khối tròn xoay. Ta sẽ chia lều thành các phần nhỏ và tính thể tích của mỗi phần, sau đó tổng hợp lại. Bước 1: Xác định diện tích của mặt cắt ngang. - Mặt cắt ngang là một hình vuông có cạnh là $\sqrt{9 - x^2}$. - Diện tích của mặt cắt ngang là: \[ A(x) = (\sqrt{9 - x^2})^2 = 9 - x^2 \] Bước 2: Tính thể tích của lều bằng phương pháp tích phân. - Thể tích của lều là tích phân của diện tích mặt cắt ngang từ $x = 0$ đến $x = 3$: \[ V = \int_{0}^{3} A(x) \, dx = \int_{0}^{3} (9 - x^2) \, dx \] Bước 3: Thực hiện tích phân. \[ V = \int_{0}^{3} (9 - x^2) \, dx \] \[ V = \left[ 9x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} \] \[ V = \left( 9 \cdot 3 - \frac{3^3}{3} \right) - \left( 9 \cdot 0 - \frac{0^3}{3} \right) \] \[ V = \left( 27 - \frac{27}{3} \right) - 0 \] \[ V = 27 - 9 \] \[ V = 18 \] Vậy thể tích của lều là 18 m³. Đáp số: 18 m³.