Tính hợp lí

Bài 1: Để tính hợp lý biểu thức $$, chúng ta sẽ nhóm các phân số lại với nhau sao cho mỗi nhóm có thể dễ dàng tính toán. Nhận thấy rằng các phân số trong biểu thức có dạng $$ và $$. Ta sẽ nhóm các phân số này lại theo cặp: $$ Ta sẽ tính từng cặp một: 1. Cặp đầu tiên: $$ 2. Cặp thứ hai: $$ 3. Cặp thứ ba: $$ Nhận thấy rằng mỗi cặp có dạng: $$ Do đó, biểu thức $$ có thể viết lại thành: $$ Biểu thức này là tổng của các phân số có mẫu số là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Ta nhận thấy rằng: $$ Áp dụng công thức trên cho từng cặp: $$ Nhận thấy rằng đây là một dãy số có các số hạng liên tiếp triệt tiêu nhau: $$ $$ $$ $$ $$ Vậy giá trị của biểu thức $$ là: $$