chọn đáp án đúng nhất đề thi giữa kì 2 toán 12 ae cíuu tuii Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-3x+1,$ trục,Ox và hai đường thẳng $x=-1,~x=2$ là,$A.~\int^2_{-1}(x^3-3x+1)dx.$ $B.~\int^{-1}_2|x^3-3x+1|dx.$,$C.~\int^-_{-1}|x^3-3x+1|dx.$ $D.~\int^-_{-1}(-x^3+3x-1)dx.$,Câu 5. Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Một vectơ pháp tuyến của,mặt phẳng (ABCD) là.,,$A.~\frac{188}{EF}.$ $B.~\overset{tan}{CD}.$ $C.~\frac{tan}{GF}.$ $D.~\frac{(a)}{BF}.$,Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxz , cặp vectơ chỉ phương của,mặt phẳng (Oxy) là,$A.~\omega_{i,j}.$ $B.~k,j$ $C.~\frac H{i,k}.$ $D.~\frac{\frac{(33;king)}{Ox,Oy}}{Ox,Oy}.$,Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxy=, mặt phẳng (P):,$x-2y+3z-1=0$ đi qua điểm nào sau đây?,$A.~A(1;0;0).$,$B.~B(0;1;0).$,$C.~C(0;0;1).$,$D.~D(1;1;1).$,Câu 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxz , mặt phẳng $(P):~x-y+3z-5=0$,có một vectơ pháp tuyến là:,$A.~\frac{(0;-1;3)}{n_1=(0;-1;3)}$ $B.~\frac{(n_2in_1c)}{n_2=(-1;3;-5)}.$,$C.~\frac{(aut)}{n_3=0;-1;3)}.$ $D.~\frac{(n_4;n_4;n_4;-1;5)}{n_4=(1;-1;5)}.$,Câu 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxz, cho hai mặt phẳng,$(P):~A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ và $(Q):~A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0.$ Hai mặt phẳng (P) và (Q),vuông góc với nhau khi và chỉ khi,$A.~A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$ B.,$A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=1.$,$C.~A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=-1.$ $D.~A_1A_2-B_1B_2-C_1C_2=0.$,Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxz, mặt phẳng (P):,$x-y+2z-3=0$ song song với mặt phẳng nào sau đây ?,$\underline{A.}~(Q_1):~2x-2y+4z+5=0.$ $B.~(Q_2):~x+y-z+5=0.$,$C.~(Q_3):~2x-2y+6z+3=0.$ $D.~(Q_4):x+2y-3z+5=0.$,Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxy , khoảng cách từ điể,$M(x_0;y_0;z_0)$ đến mặt phẳng $(P):~Ax+By+Cz+D=0$ bằng,$A.~\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$ $B.~\frac{\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A+B+C}}.$,$C.~\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{A^2+B^2+C^2}.$ $D.~\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$,Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin x$ là,$A.~\int\sin xdx=\cos x+C.$ $B.~\int\sin xdx=-\cos x+C.$,$C.~\int\sin xdx=\sin(x+1)+C.$ $D.~\int\sin xdx=\cos(-x)+C.$,

Question

chọn đáp án đúng nhất đề thi giữa kì 2 toán 12 ae cíuu tuii Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-3x+1,$ trục,Ox và hai đường thẳng $x=-1,~x=2$ là,$A.~\int^2_{-1}(x^3-3x+1)dx.$ $B.~\int^{-1}_2|x^3-3x+1|dx.$,$C.~\int^-_{-1}|x^3-3x+1|dx.$ $D.~\int^-_{-1}(-x^3+3x-1)dx.$,Câu 5. Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Một vectơ pháp tuyến của,mặt phẳng (ABCD) là.,

,$A.~\frac{188}{EF}.$ $B.~\overset{tan}{CD}.$ $C.~\frac{tan}{GF}.$ $D.~\frac{(a)}{BF}.$,Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxz , cặp vectơ chỉ phương của,mặt phẳng (Oxy) là,$A.~\omega_{i,j}.$ $B.~k,j$ $C.~\frac H{i,k}.$ $D.~\frac{\frac{(33;king)}{Ox,Oy}}{Ox,Oy}.$,Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxy=, mặt phẳng (P):,$x-2y+3z-1=0$ đi qua điểm nào sau đây?,$A.~A(1;0;0).$,$B.~B(0;1;0).$,$C.~C(0;0;1).$,$D.~D(1;1;1).$,Câu 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxz , mặt phẳng $(P):~x-y+3z-5=0$,có một vectơ pháp tuyến là:,$A.~\frac{(0;-1;3)}{n_1=(0;-1;3)}$ $B.~\frac{(n_2in_1c)}{n_2=(-1;3;-5)}.$,$C.~\frac{(aut)}{n_3=0;-1;3)}.$ $D.~\frac{(n_4;n_4;n_4;-1;5)}{n_4=(1;-1;5)}.$,Câu 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxz, cho hai mặt phẳng,$(P):~A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ và $(Q):~A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0.$ Hai mặt phẳng (P) và (Q),vuông góc với nhau khi và chỉ khi,$A.~A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$ B.,$A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=1.$,$C.~A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=-1.$ $D.~A_1A_2-B_1B_2-C_1C_2=0.$,Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxz, mặt phẳng (P):,$x-y+2z-3=0$ song song với mặt phẳng nào sau đây ?,$\underline{A.}~(Q_1):~2x-2y+4z+5=0.$ $B.~(Q_2):~x+y-z+5=0.$,$C.~(Q_3):~2x-2y+6z+3=0.$ $D.~(Q_4):x+2y-3z+5=0.$,Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxy , khoảng cách từ điể,$M(x_0;y_0;z_0)$ đến mặt phẳng $(P):~Ax+By+Cz+D=0$ bằng,$A.~\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$ $B.~\frac{\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A+B+C}}.$,$C.~\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{A^2+B^2+C^2}.$ $D.~\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$,Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin x$ là,$A.~\int\sin xdx=\cos x+C.$ $B.~\int\sin xdx=-\cos x+C.$,$C.~\int\sin xdx=\sin(x+1)+C.$ $D.~\int\sin xdx=\cos(-x)+C.$,

Accepted Answer

Câu 4.
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + 1$, trục Ox và hai đường thẳng $x = -1$ và $x = 2$, ta cần xác định các đoạn trên khoảng $[-1, 2]$ mà hàm số nằm phía trên hoặc dưới trục Ox.

Bước 1: Tìm các điểm giao của đồ thị với trục Ox:
$$ x^3 - 3x + 1 = 0 $$

Ta thử các giá trị $x = -1, 0, 1, 2$:
- Khi $x = -1$: $(-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 > 0$
- Khi $x = 0$: $0^3 - 3(0) + 1 = 1 > 0$
- Khi $x = 1$: $1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 < 0$
- Khi $x = 2$: $2^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 > 0$

Từ đó, ta thấy rằng hàm số $y = x^3 - 3x + 1$ cắt trục Ox tại một điểm nào đó trong khoảng $(1, 2)$.

Bước 2: Xác định các đoạn mà hàm số nằm phía trên hoặc dưới trục Ox:
- Từ $x = -1$ đến $x = 1$, hàm số nằm phía trên trục Ox.
- Từ $x = 1$ đến $x = 2$, hàm số nằm phía dưới trục Ox.

Bước 3: Tính diện tích hình phẳng:
Diện tích hình phẳng sẽ là tổng diện tích của hai phần:
- Phần từ $x = -1$ đến $x = 1$: $\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x + 1) \, dx$
- Phần từ $x = 1$ đến $x = 2$: $\int_{1}^{2} |x^3 - 3x + 1| \, dx = \int_{1}^{2} -(x^3 - 3x + 1) \, dx$

Do đó, diện tích hình phẳng là:
$$ A = \int_{-1}^{1} (x^3 - 3x + 1) \, dx + \int_{1}^{2} -(x^3 - 3x + 1) \, dx $$

Tổng hợp lại, đáp án đúng là:
$$ A = \int_{-1}^{1} (x^3 - 3x + 1) \, dx + \int_{1}^{2} (-x^3 + 3x - 1) \, dx $$

Vậy đáp án đúng là:
D. $\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x + 1) \, dx + \int_{1}^{2} (-x^3 + 3x - 1) \, dx$.

Câu 5.
Trước tiên, ta cần hiểu rằng mặt phẳng (ABCD) là đáy của hình lập phương ABCD.EFGH. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này sẽ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng (ABCD).

Ta xét các vectơ đã cho:
- $\overrightarrow{EF}$: Vectơ này nằm trên mặt phẳng (EFGH), song song với mặt phẳng (ABCD). Vì vậy, nó không thể là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD).
- $\overrightarrow{CD}$: Vectơ này nằm trong mặt phẳng (ABCD). Vì vậy, nó không thể là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD).
- $\overrightarrow{GF}$: Vectơ này nằm trên mặt phẳng (EFGH), song song với mặt phẳng (ABCD). Vì vậy, nó không thể là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD).
- $\overrightarrow{BF}$: Vectơ này đi từ đỉnh B của mặt phẳng (ABCD) lên đỉnh F của mặt phẳng (EFGH). Vì vậy, nó vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD) là $\overrightarrow{BF}$.

Đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{BF}$.

Câu 6.
Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (Oxy) là hai vectơ nằm trên mặt phẳng đó và độc lập tuyến tính với nhau. Trong hệ tọa độ Oxyz, các vectơ cơ bản i và j lần lượt có hướng dọc theo trục Ox và Oy, do đó chúng nằm trên mặt phẳng (Oxy).

Do đó, cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (Oxy) là:
A. ${i, j}$

Đáp án đúng là: A. ${i, j}$

Câu 7.
Để xác định mặt phẳng $(P)$: $x - 2y + 3z - 1 = 0$ đi qua điểm nào trong các điểm A, B, C, D, ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình mặt phẳng và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn hay không.

A. Thay tọa độ điểm $A(1;0;0)$ vào phương trình mặt phẳng:
$$
1 - 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 1 = 1 - 0 + 0 - 1 = 0.
$$
Phương trình đúng, vậy mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$.

B. Thay tọa độ điểm $B(0;1;0)$ vào phương trình mặt phẳng:
$$
0 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 - 1 = 0 - 2 + 0 - 1 = -3 \neq 0.
$$
Phương trình sai, vậy mặt phẳng $(P)$ không đi qua điểm $B$.

C. Thay tọa độ điểm $C(0;0;1)$ vào phương trình mặt phẳng:
$$
0 - 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 - 1 = 0 - 0 + 3 - 1 = 2 \neq 0.
$$
Phương trình sai, vậy mặt phẳng $(P)$ không đi qua điểm $C$.

D. Thay tọa độ điểm $D(1;1;1)$ vào phương trình mặt phẳng:
$$
1 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1 = 1 - 2 + 3 - 1 = 1 \neq 0.
$$
Phương trình sai, vậy mặt phẳng $(P)$ không đi qua điểm $D$.

Kết luận: Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(1;0;0)$.

Đáp án: A. $A(1;0;0)$.

Câu 8.
Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x - y + 3z - 5 = 0$. Ta thấy rằng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này sẽ có các thành phần tương ứng với các hệ số của $x$, $y$, và $z$ trong phương trình mặt phẳng.

Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n} = (1, -1, 3)$.

Bây giờ, ta kiểm tra từng đáp án để tìm vectơ pháp tuyến đúng:
- Đáp án A: $\vec{n}_1 = (0, -1, 3)$
- Đáp án B: $\vec{n}_2 = (-1, 3, -5)$
- Đáp án C: $\vec{n}_3 = (0, -1, 3)$
- Đáp án D: $\vec{n}_4 = (1, -1, 5)$

Ta thấy rằng chỉ có đáp án D có các thành phần tương ứng với các hệ số của $x$, $y$, và $z$ trong phương trình mặt phẳng $(P)$.

Vậy, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n}_4 = (1, -1, 3)$.

Đáp án đúng là: D. $\vec{n}_4 = (1, -1, 3)$.

Câu 9.
Để xác định điều kiện để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau, ta cần sử dụng tính chất về vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.

- Mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$. Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}_1 = (A_1, B_1, C_1)$.
- Mặt phẳng $(Q)$ có phương trình: $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$. Vectơ pháp tuyến của $(Q)$ là $\vec{n}_2 = (A_2, B_2, C_2)$.

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau. Điều này tương đương với tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng 0:

$$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$$

Tính tích vô hướng:

$$A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$$

Do đó, hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

$$A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$$

Vậy đáp án đúng là:

A. $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$

Câu 10.
Để xác định mặt phẳng nào trong các lựa chọn A, B, C, D song song với mặt phẳng (P): $x - y + 2z - 3 = 0$, ta cần kiểm tra xem các vector pháp tuyến của các mặt phẳng này có cùng hướng với vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) hay không.

Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:
$$ \vec{n}_P = (1, -1, 2) $$

Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng:

1. Mặt phẳng $ (Q_1): 2x - 2y + 4z + 5 = 0 $
   Vector pháp tuyến của $ (Q_1) $ là:
   $$ \vec{n}_{Q_1} = (2, -2, 4) $$
   Ta thấy rằng:
   $$ \vec{n}_{Q_1} = 2 \cdot \vec{n}_P $$
   Do đó, $ \vec{n}_{Q_1} $ cùng hướng với $ \vec{n}_P $. Vậy mặt phẳng $ (Q_1) $ song song với mặt phẳng (P).

2. Mặt phẳng $ (Q_2): x + y - z + 5 = 0 $
   Vector pháp tuyến của $ (Q_2) $ là:
   $$ \vec{n}_{Q_2} = (1, 1, -1) $$
   Ta thấy rằng $ \vec{n}_{Q_2} $ không cùng hướng với $ \vec{n}_P $. Vậy mặt phẳng $ (Q_2) $ không song song với mặt phẳng (P).

3. Mặt phẳng $ (Q_3): 2x - 2y + 6z + 3 = 0 $
   Vector pháp tuyến của $ (Q_3) $ là:
   $$ \vec{n}_{Q_3} = (2, -2, 6) $$
   Ta thấy rằng $ \vec{n}_{Q_3} \neq k \cdot \vec{n}_P $ với bất kỳ hằng số $ k $ nào. Vậy mặt phẳng $ (Q_3) $ không song song với mặt phẳng (P).

4. Mặt phẳng $ (Q_4): x + 2y - 3z + 5 = 0 $
   Vector pháp tuyến của $ (Q_4) $ là:
   $$ \vec{n}_{Q_4} = (1, 2, -3) $$
   Ta thấy rằng $ \vec{n}_{Q_4} $ không cùng hướng với $ \vec{n}_P $. Vậy mặt phẳng $ (Q_4) $ không song song với mặt phẳng (P).

Từ các phân tích trên, ta kết luận rằng mặt phẳng $ (Q_1) $ là mặt phẳng song song với mặt phẳng (P).

Đáp án đúng là: A. $ (Q_1): 2x - 2y + 4z + 5 = 0 $

Câu 11.
Để tìm khoảng cách từ điểm $ M(x_0; y_0; z_0) $ đến mặt phẳng $ (P): Ax + By + Cz + D = 0 $, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian.

Công thức này được viết dưới dạng:
$$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $$

Giải thích từng bước:
1. Tính toán biểu thức $ Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D $: Đây là phép nhân các tọa độ của điểm $ M $ với các hệ số tương ứng của phương trình mặt phẳng và cộng thêm hằng số $ D $.

2. Lấy giá trị tuyệt đối: Kết quả của phép tính trên sẽ được lấy giá trị tuyệt đối để đảm bảo khoảng cách luôn dương.

3. Chia cho căn bậc hai của tổng bình phương các hệ số: Phần mẫu số của công thức là căn bậc hai của tổng bình phương các hệ số $ A $, $ B $, và $ C $. Điều này giúp chuẩn hóa khoảng cách theo hướng pháp tuyến của mặt phẳng.

Do đó, đáp án đúng là:
$$ D. \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $$

Câu 12.
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = \sin x $, chúng ta cần xác định hàm số $ F(x) $ sao cho đạo hàm của nó là $ \sin x $.

Ta biết rằng đạo hàm của $ \cos x $ là $ -\sin x $. Do đó, để có đạo hàm là $ \sin x $, ta cần nhân thêm dấu âm vào trước $ \cos x $.

Vậy nguyên hàm của $ \sin x $ là:
$$ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $$

Trong các đáp án đã cho, đáp án đúng là:
B. $ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $

Đáp án: B. $ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $