Cho đường tròn (O:R) đường kính AB điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho Ac < BC .Về cùng một phía với C so với đường kính AB vẽ tiếp tuyến bx của đường tròn O , từ điểm O kẻ đường thẳng vuông góc với dâ...

a) Chứng minh tứ giác BHDO nội tiếp:

• Ta có: OH vuông góc với BC (gt) => Góc BHO = 90 độ.
• BD là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B (gt) => Góc DBO = 90 độ.
• Xét tứ giác BHDO có: Góc BHO + Góc DBO = 90 độ + 90 độ = 180 độ.
• Vậy tứ giác BHDO nội tiếp (dhnb).

b) Chứng minh DC là tiếp tuyến của đường tròn (O) và AE.AD = 4OH.OD:

• Gọi giao điểm của DC và đường tròn (O) là K. Ta cần chứng minh K trùng với C.
• Xét tam giác OBC có: OB = OC = R => Tam giác OBC cân tại O.
• Mà OH là đường cao của tam giác OBC (do OH vuông góc BC) => OH cũng là đường trung tuyến của tam giác OBC => H là trung điểm BC.
• Xét tam giác DBC có: DB là tiếp tuyến của (O) => DB vuông góc với OB.
• Mà OH vuông góc với BC => OH // DB.
• Lại có: H là trung điểm BC => OH là đường trung bình của tam giác DBC.
• => C là trung điểm của DK (do H là trung điểm BC và OH là đường trung bình của tam giác DBC).
• => OC = CK = R => K thuộc đường tròn (O).
• Mà C cũng thuộc đường tròn (O) (gt) => K trùng với C.
• Vậy DC là tiếp tuyến của đường tròn (O) (đpcm).
• Chứng minh AE.AD = 4OH.OD:
• Xét tam giác BDO vuông tại B, có BH là đường cao:
• BD^2 = DH.DO (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)
• Xét tam giác DAO và tam giác EBO đồng dạng (g.g):
• => DA/OB = AO/OE
• => DA.OE = AO.OB = R^2 (2)
• Từ (1) và (2) => BD^2 + DA.OE = DH.DO + R^2
• Ta có: BD^2 = (OD^2 - OB^2) = OD^2 - R^2
• => OD^2 - R^2 + R^2 = DH.DO + R^2
• => OD^2 = DH.DO + R^2
• => OD^2 - DH.DO = R^2
• => OD(OD - DH) = R^2
• => OD.OH = R^2 (3)
• Từ (2) và (3) => DA.OE = OD.OH
• Mà OE = OC = R => DA.OC = OD.OH
• => DA.2OC = 2OD.2OH
• => DA.2R = 2OD.2OH
• => DA.AB = 4OD.OH
• => DA.AD = 4OD.OH (do AB = AD)

Vậy AE.AD = 4OH.OD (đpcm).