hcxdfffvvvcxdfghbv

Câu 4. Gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của chiếc hộp kim loại lần lượt là $l, \text\ width, \text\ height$. Theo đề bài, ta có: \[ l = 2w \] Thể tích của chiếc hộp là: \[ V = l \times w \times h = 72 \] Thay \( l = 2w \) vào công thức thể tích: \[ 2w \times w \times h = 72 \] \[ 2w^2h = 72 \] \[ w^2h = 36 \] \[ h = \frac{36}{w^2} \] Diện tích toàn phần của chiếc hộp là: \[ S = 2(lw + lh + wh) \] Thay \( l = 2w \) và \( h = \frac{36}{w^2} \): \[ S = 2(2w \cdot w + 2w \cdot \frac{36}{w^2} + w \cdot \frac{36}{w^2}) \] \[ S = 2(2w^2 + \frac{72}{w} + \frac{36}{w}) \] \[ S = 2(2w^2 + \frac{108}{w}) \] \[ S = 4w^2 + \frac{216}{w} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \), ta tính đạo hàm của \( S \) theo \( w \): \[ S' = 8w - \frac{216}{w^2} \] Đặt \( S' = 0 \): \[ 8w - \frac{216}{w^2} = 0 \] \[ 8w = \frac{216}{w^2} \] \[ 8w^3 = 216 \] \[ w^3 = 27 \] \[ w = 3 \] Kiểm tra điều kiện để \( w = 3 \) là điểm cực tiểu: \[ S'' = 8 + \frac{432}{w^3} \] \[ S''(3) = 8 + \frac{432}{27} = 8 + 16 = 24 > 0 \] Vậy \( w = 3 \) là điểm cực tiểu. Thay \( w = 3 \) vào các công thức: \[ l = 2w = 2 \times 3 = 6 \] \[ h = \frac{36}{w^2} = \frac{36}{9} = 4 \] Diện tích toàn phần khi đó là: \[ S = 4w^2 + \frac{216}{w} \] \[ S = 4 \times 3^2 + \frac{216}{3} \] \[ S = 4 \times 9 + 72 \] \[ S = 36 + 72 \] \[ S = 108 \] Vậy diện tích toàn phần nhỏ nhất đạt được của chiếc hộp là \( 108 \, cm^2 \). Đáp số: \( 108 \, cm^2 \) Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc Bayes. Chúng ta cần xác định các xác suất liên quan và sau đó áp dụng công thức Bayes để tìm xác suất người đó thực sự bị bệnh khi kết quả kiểm tra là dương tính. Bước 1: Xác định các xác suất ban đầu: - Xác suất một người bị bệnh: \( P(B) = 0.01 \) - Xác suất một người không bị bệnh: \( P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 0.99 \) Bước 2: Xác định các xác suất điều kiện: - Xác suất kết quả dương tính khi người đó bị bệnh: \( P(D|B) = 0.99 \) - Xác suất kết quả âm tính khi người đó bị bệnh: \( P(\overline{D}|B) = 1 - P(D|B) = 0.01 \) - Xác suất kết quả dương tính khi người đó không bị bệnh: \( P(D|\overline{B}) = 0.01 \) - Xác suất kết quả âm tính khi người đó không bị bệnh: \( P(\overline{D}|\overline{B}) = 1 - P(D|\overline{B}) = 0.99 \) Bước 3: Áp dụng công thức Bayes để tìm xác suất người đó thực sự bị bệnh khi kết quả kiểm tra là dương tính: \[ P(B|D) = \frac{P(D|B) \cdot P(B)}{P(D)} \] Trong đó, \( P(D) \) là xác suất tổng thể của kết quả dương tính, được tính bằng: \[ P(D) = P(D|B) \cdot P(B) + P(D|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \] \[ P(D) = 0.99 \cdot 0.01 + 0.01 \cdot 0.99 \] \[ P(D) = 0.0099 + 0.0099 \] \[ P(D) = 0.0198 \] Bây giờ, chúng ta có thể tính \( P(B|D) \): \[ P(B|D) = \frac{0.99 \cdot 0.01}{0.0198} \] \[ P(B|D) = \frac{0.0099}{0.0198} \] \[ P(B|D) = 0.5 \] Vậy xác suất để người đó thực sự bị bệnh khi kết quả kiểm tra là dương tính là 0.5 hoặc 50%. Đáp số: 50% Câu 6. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^2 + \frac{2}{x} \) trên đoạn \(\left[ \frac{1}{2}; 2 \right]\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ y' = \frac{d}{dx}\left( x^2 + \frac{2}{x} \right) = 2x - \frac{2}{x^2} \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ y' = 0 \] \[ 2x - \frac{2}{x^2} = 0 \] \[ 2x = \frac{2}{x^2} \] \[ x^3 = 1 \] \[ x = 1 \] Bước 3: Kiểm tra các giá trị tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^2 + \frac{2}{1} = 1 + 2 = 3 \] - Tại \( x = \frac{1}{2} \): \[ y\left( \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{2}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} + 4 = 4.25 \] - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = 2^2 + \frac{2}{2} = 4 + 1 = 5 \] Bước 4: So sánh các giá trị Các giá trị của hàm số tại các điểm đã kiểm tra là: - \( y(1) = 3 \) - \( y\left( \frac{1}{2} \right) = 4.25 \) - \( y(2) = 5 \) Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là 3, đạt được khi \( x = 1 \). Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^2 + \frac{2}{x} \) trên đoạn \(\left[ \frac{1}{2}; 2 \right]\) là 3, đạt được khi \( x = 1 \).