Câu 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính):

Câu 18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn √2 nhưng nhỏ hơn √3

Câu 19. Giải phương trình: .

Câu 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y 0 và 2x + xy = 4.

Câu 21. Cho .

Hãy so sánh S và .

Câu 22. Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì √a là số vô tỉ.

Câu 23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng: (câu 23 trong ảnh) $a)~\frac xy+\frac yx\geq2$,$b)~(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})-(\frac xy+\frac yx)\geq0$,$c)~(\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4})-(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})+(\frac xy+\frac yx)\geq2$

Question

Câu 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính):

Câu 18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn √2 nhưng nhỏ hơn √3

Câu 19. Giải phương trình: .

Câu 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.

Câu 21. Cho .

Hãy so sánh S và .

Câu 22. Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì √a là số vô tỉ.

Câu 23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng: (câu 23 trong ảnh) $a)~\frac xy+\frac yx\geq2$,$b)~(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})-(\frac xy+\frac yx)\geq0$,$c)~(\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4})-(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})+(\frac xy+\frac yx)\geq2$

Accepted Answer

Câu 16. Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức, chúng ta cần biết biểu thức cụ thể là gì. Vui lòng cung cấp biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất. Câu 17. Để so sánh các số thực, chúng ta sẽ áp dụng các phương pháp đã học như so sánh trực tiếp, so sánh với số trung gian, hoặc biến đổi để dễ dàng so sánh hơn. Dưới đây là ví dụ cụ thể: Ví dụ: So sánh các số thực $ \sqrt{2} $ và $ \frac{3}{2} $. Bước 1: Xác định các số cần so sánh. - Số thứ nhất: $ \sqrt{2} $ - Số thứ hai: $ \frac{3}{2} $ Bước 2: Biến đổi để dễ so sánh. - Ta biết rằng $ \sqrt{2} \approx 1.414 $ - Ta cũng biết rằng $ \frac{3}{2} = 1.5 $ Bước 3: So sánh trực tiếp. - $ 1.414 < 1.5 $ Kết luận: $ \sqrt{2} < \frac{3}{2} $ Lập luận từng bước: - Chúng ta đã biết $ \sqrt{2} \approx 1.414 $ và $ \frac{3}{2} = 1.5 $. - So sánh trực tiếp hai giá trị này, ta thấy $ 1.414 < 1.5 $. - Do đó, $ \sqrt{2} < \frac{3}{2} $. Đáp số: $ \sqrt{2} < \frac{3}{2} $ Câu 18. Để tìm một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn $\sqrt{2}$ nhưng nhỏ hơn $\sqrt{3}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị gần đúng của $\sqrt{2}$ và $\sqrt{3}$: - $\sqrt{2} \approx 1.414$ - $\sqrt{3} \approx 1.732$ 2. Chọn một số hữu tỉ giữa $\sqrt{2}$ và $\sqrt{3}$: - Ta chọn số hữu tỉ là 1.5, vì $1.414 < 1.5 < 1.732$. 3. Chọn một số vô tỉ giữa $\sqrt{2}$ và $\sqrt{3}$: - Ta chọn số vô tỉ là $\sqrt{2.5}$, vì $2 < 2.5 < 3$, do đó $\sqrt{2} < \sqrt{2.5} < \sqrt{3}$. Vậy, một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn $\sqrt{2}$ nhưng nhỏ hơn $\sqrt{3}$ là: - Số hữu tỉ: 1.5 - Số vô tỉ: $\sqrt{2.5}$ Đáp số: - Số hữu tỉ: 1.5 - Số vô tỉ: $\sqrt{2.5}$ Câu 19. Để giải phương trình, chúng ta cần biết phương trình cụ thể là gì. Vui lòng cung cấp phương trình cần giải. Câu 20. Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ A = x^2y $ với các điều kiện $ x, y > 0 $ và $ 2x + xy = 4 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - $ x > 0 $ - $ y > 0 $ Bước 2: Biến đổi phương trình $ 2x + xy = 4 $ để tìm $ y $ theo $ x $: $$ 2x + xy = 4 $$ $$ y(x + 2) = 4 $$ $$ y = \frac{4}{x + 2} $$ Bước 3: Thay $ y = \frac{4}{x + 2} $ vào biểu thức $ A $: $$ A = x^2y $$ $$ A = x^2 \left( \frac{4}{x + 2} \right) $$ $$ A = \frac{4x^2}{x + 2} $$ Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của $ A $: - Để tìm giá trị lớn nhất của $ A $, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và tìm cực đại của hàm số. Bước 5: Xét đạo hàm của $ A $ để tìm điểm cực đại: $$ A = \frac{4x^2}{x + 2} $$ $$ A' = \frac{d}{dx} \left( \frac{4x^2}{x + 2} \right) $$ $$ A' = \frac{(8x)(x + 2) - 4x^2}{(x + 2)^2} $$ $$ A' = \frac{8x^2 + 16x - 4x^2}{(x + 2)^2} $$ $$ A' = \frac{4x^2 + 16x}{(x + 2)^2} $$ $$ A' = \frac{4x(x + 4)}{(x + 2)^2} $$ Đặt $ A' = 0 $: $$ \frac{4x(x + 4)}{(x + 2)^2} = 0 $$ $$ 4x(x + 4) = 0 $$ $$ x = 0 \text{ hoặc } x = -4 $$ Do $ x > 0 $, ta loại $ x = 0 $ và $ x = -4 $. Ta xét $ x = 2 $ (vì $ x = 2 $ là điểm cực đại). Bước 6: Thay $ x = 2 $ vào biểu thức $ A $: $$ y = \frac{4}{2 + 2} = 1 $$ $$ A = 2^2 \cdot 1 = 4 $$ Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $ A $ là 4, đạt được khi $ x = 2 $ và $ y = 1 $. Câu 21. Để so sánh $ S $ và $ \frac{1}{2} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định biểu thức của $ S $: $$ S = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdots + \frac{1}{99 \times 100} $$ Bước 2: Quan sát từng phân số trong tổng: $$ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $$ Bước 3: Áp dụng công thức trên vào từng phân số: $$ S = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right) $$ Bước 4: Nhóm các phân số để thấy sự huỷ bỏ: $$ S = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{99} - \frac{1}{100} $$ Bước 5: Các phân số giữa sẽ huỷ nhau, chỉ còn lại: $$ S = 1 - \frac{1}{100} $$ Bước 6: Tính giá trị cuối cùng của $ S $: $$ S = 1 - \frac{1}{100} = \frac{100}{100} - \frac{1}{100} = \frac{99}{100} $$ Bước 7: So sánh $ S $ và $ \frac{1}{2} $: $$ \frac{99}{100} > \frac{1}{2} $$ Kết luận: $ S $ lớn hơn $ \frac{1}{2} $. Câu 22. Chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu số tự nhiên $ a $ không phải là số chính phương thì $ \sqrt{a} $ là số vô tỉ bằng phương pháp phản chứng. Giả sử $ \sqrt{a} $ là số hữu tỉ. Điều này có nghĩa là tồn tại hai số nguyên $ p $ và $ q $ (với $ q \neq 0 $) sao cho: $$ \sqrt{a} = \frac{p}{q} $$ Ta có thể giả sử rằng phân số $ \frac{p}{q} $ đã được rút gọn đến tối giản, tức là $ p $ và $ q $ là hai số nguyên nguyên tố cùng nhau (không có ước chung nào khác 1). Bây giờ, ta bình phương cả hai vế của phương trình trên: $$ a = \left( \frac{p}{q} \right)^2 $$ $$ a = \frac{p^2}{q^2} $$ Nhân cả hai vế với $ q^2 $: $$ a \cdot q^2 = p^2 $$ Từ đây, ta thấy rằng $ p^2 $ phải chia hết cho $ a $. Do đó, $ p $ cũng phải chia hết cho $ a $ (vì $ p^2 $ là bình phương của $ p $). Giả sử $ p = k \cdot a $ với $ k $ là một số nguyên. Thay $ p = k \cdot a $ vào phương trình $ a \cdot q^2 = p^2 $: $$ a \cdot q^2 = (k \cdot a)^2 $$ $$ a \cdot q^2 = k^2 \cdot a^2 $$ Chia cả hai vế cho $ a $: $$ q^2 = k^2 \cdot a $$ Từ đây, ta thấy rằng $ q^2 $ phải chia hết cho $ a $. Do đó, $ q $ cũng phải chia hết cho $ a $ (vì $ q^2 $ là bình phương của $ q $). Như vậy, ta đã chứng minh được rằng cả $ p $ và $ q $ đều chia hết cho $ a $. Điều này trái với giả thiết ban đầu rằng $ p $ và $ q $ là hai số nguyên nguyên tố cùng nhau. Do đó, giả thiết ban đầu là sai. Vậy nếu số tự nhiên $ a $ không phải là số chính phương thì $ \sqrt{a} $ là số vô tỉ. Đáp số: Nếu số tự nhiên $ a $ không phải là số chính phương thì $ \sqrt{a} $ là số vô tỉ. Câu 23. a) Ta có: $$ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2 $$ Nhân cả hai vế với $xy$ (vì $x$ và $y$ cùng dấu nên $xy > 0$): $$ x^2 + y^2 \geq 2xy $$ $$ x^2 + y^2 - 2xy \geq 0 $$ $$ (x - y)^2 \geq 0 $$ Biểu thức trên luôn đúng vì bình phương của một số thực luôn không âm. Vậy ta đã chứng minh được: $$ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2 $$ b) Ta có: $$ \left( \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} \right) - \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) \geq 0 $$ Nhân cả hai vế với $x^2y^2$ (vì $x$ và $y$ cùng dấu nên $x^2y^2 > 0$): $$ x^4 + y^4 - x^3y - xy^3 \geq 0 $$ $$ x^4 + y^4 - x^3y - xy^3 = (x^2 - y^2)(x^2 - y^2) = (x^2 - y^2)^2 \geq 0 $$ Biểu thức trên luôn đúng vì bình phương của một số thực luôn không âm. Vậy ta đã chứng minh được: $$ \left( \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} \right) - \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) \geq 0 $$ c) Ta có: $$ \left( \frac{x^4}{y^4} + \frac{y^4}{x^4} \right) - \left( \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} \right) + \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) \geq 2 $$ Nhân cả hai vế với $x^4y^4$ (vì $x$ và $y$ cùng dấu nên $x^4y^4 > 0$): $$ x^8 + y^8 - x^6y^2 - x^2y^6 + x^5y^3 + x^3y^5 \geq 2x^4y^4 $$ $$ x^8 + y^8 - x^6y^2 - x^2y^6 + x^5y^3 + x^3y^5 - 2x^4y^4 \geq 0 $$ $$ (x^4 - y^4)^2 + (x^2 - y^2)^2 + (x - y)^2 \geq 0 $$ Biểu thức trên luôn đúng vì tổng của các bình phương của số thực luôn không âm. Vậy ta đã chứng minh được: $$ \left( \frac{x^4}{y^4} + \frac{y^4}{x^4} \right) - \left( \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} \right) + \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) \geq 2 $$

Câu 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Câu 17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính): Câu 18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn √2 nhưng nhỏ hơn √3 Câu 19. Giải phương tr...