Chứng minh rằng phương trình bậc hai: x²-mx-8=0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 và M= 2x1²+5x1-16/3x1 - 2x2²+5x-16/3x² có giá trị không phụ thuộc vào tham số m
Giúp mình với!

Question

Accepted Answer

Phương trình bậc hai $\displaystyle x^{2} \ -\ mx\ -\ 8\ =\ 0$ có biệt thức $\displaystyle \Delta \ =\ ( -m)^{2} \ -\ 4\ .\ ( -8) \ =\ m^{2} \ +\ 32.$

Vì $\displaystyle m^{2} \ \geqslant \ 0$ với mọi m, nên$\displaystyle \ m^{2} \ +\ 32\ >\ 0$ với mọi m.

Vậy $\displaystyle \Delta \ >\ 0$ với mọi m, chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $\displaystyle x_{1} \ và\ x^{2}$ với mọi giá trị của tham số m.

Ta có:

$\displaystyle M\ =\ \frac{\left( 2x_{1}^{2} \ +\ 5x_{1} \ -\ 16 ight)}{3x_{1}} \ -\ \frac{\left( 2x_{2}^{2} \ +\ 5x_{2} \ -\ 16 ight)}{3x_{2}}$

Vì $\displaystyle x_{1} \ và\ x_{2}$ là nghiệm của phương trình $\displaystyle x^{2} \ -\ mx\ -\ 8\ =\ 0,$ nên ta có:

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
x_{1}^{2} \ -\ mx_{1} \ -\ 8\ =\ 0\ \Longrightarrow \ x_{1}^{2} \ =\ mx_{1} \ +\ 8\
x_{2}^{2} \ -\ mx_{2} \ -\ 8\ =\ 0\ \Longrightarrow \ x_{2}^{2} \ =\ mx_{2} \ +\ 8
\end{array}$

Thay $\displaystyle x_{1}^{2} \ và\ x_{2}^{2}$ vào biểu thức M, ta được:

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
M\ =\ [ 2( mx_{1} \ +\ 8) \ +\ 5x_{1} \ -\ 16] \ :\ \ ( 3x_{1}) \ -\ [ 2( mx_{2} \ +\ 8) \ +\ 5x_{2} \ -\ 16] \ :\ ( 3x_{2})\
\
M\ =\ ( 2mx_{1} \ +\ 16\ +\ 5x_{1} \ -\ 16) \ :\ ( 3x_{1}) \ -\ ( 2mx_{2} \ +\ 16\ +\ 5x_{2} \ -\ 16) \ :\ ( 3x_{2})\
\
M\ =\ ( 2mx_{1} \ +\ 5x_{1}) \ :\ ( 3x_{1}) \ -\ ( 2mx_{2} \ +\ 5x_{2}) \ :\ ( 3x_{2})\
\
M\ =\ \frac{( 2m\ +\ 5)}{3} \ -\ \frac{( 2m\ +\ 5) \ }{3} \ =\ 0
\end{array}$

Biểu thức M = 0 với mọi giá trị của tham số m. Vậy giá trị của M không phụ thuộc vào tham số m.

Chứng minh rằng phương trình bậc hai: x²-mx-8=0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 và M= 2x1²+5x1-16/3x1 - 2x2²+5x-16/3x² có giá trị không phụ thuộc vào tham số m Giúp mình với!