uvvywuqhoqijiwi Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần,đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang và đặt,trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục,của nó là hai Parabol chung đỉnh và đối xứng,nhau qua mặt phẳng nằm ngang. Ban đầu lượng,cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao,của mực cát bằng $\frac23$ chiều cao của phần bên đó,(xem hình vẽ). Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu,lượng không đổi $15,25~cm^3$ /phút. Khi chiều cao,của cát còn 4 (cm) thì bề mặt trên cùng của cát,tạo thành một đường tròn có chu vi 8. (cm). Biết,sau 24 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới,của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên,ngoài? (Làm tròn đến hàng phần chục).,

Question

uvvywuqhoqijiwi Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần,đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang và đặt,trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục,của nó là hai Parabol chung đỉnh và đối xứng,nhau qua mặt phẳng nằm ngang. Ban đầu lượng,cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao,của mực cát bằng $\frac23$ chiều cao của phần bên đó,(xem hình vẽ). Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu,lượng không đổi $15,25~cm^3$ /phút. Khi chiều cao,của cát còn 4 (cm) thì bề mặt trên cùng của cát,tạo thành một đường tròn có chu vi 8. (cm). Biết,sau 24 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới,của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên,ngoài? (Làm tròn đến hàng phần chục).,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/99d7966f615c4c0fb816ddc548646c3a.jpg />

Accepted Answer

Gọi $\displaystyle ( \alpha )$ là mặt phẳng song song với đáy của hình trụ và cắt đồng hồ cát.
Khi đó mặt cắt là một đường tròn có bán kính $\displaystyle x( cm) ,$ suy ra diện tích đường tròn là $\displaystyle S_{t} =\pi x^{2} \ \left( cm^{2} ight)$
Chọn hệ trục toạ độ $\displaystyle Oxy$ như hình vẽ, gọi phương trình parabol $\displaystyle ( P) :\ y=ax^{2} +bx+c$
Bán kính của đường tròn mặt cắt bằng $\displaystyle 4\ ( cm) ,\ ( P)$ đi qua 3 điểm $\displaystyle ( 0;0) ,\ ( 0;4) ,\ ( 4;4)$
Suy ra phương trình của $\displaystyle ( P) :\ y=\frac{x^{2}}{4} \Rightarrow x^{2} =4y\Rightarrow S_{t} =4\pi y$
Suy ra thể tích cát ban đầu là
$\displaystyle V=\int _{0}^{h} S_{t} dy=4\pi \int _{0}^{h} ydy$ (vì mặt cắt vuông góc với $\displaystyle Oy$)
Mà thể tích khối cát là:
$\displaystyle V_{c} =15,25.24=366\ \left( cm^{3} ight)$
Suy ra
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
4\pi \int _{0}^{h} ydy=366\
\Leftrightarrow 2\pi y^{2} |_{0}^{h} =366\
\Leftrightarrow 2\pi h^{2} =366\
\Leftrightarrow h=\sqrt{\frac{183}{\pi }} \approx 7,6\ ( cm)
\end{array}$
Suy ra chiều cao của khối trụ bên ngoài là $\displaystyle 2.\frac{3}{2} .h\approx 22,8\ ( cm)$