Giúp với ạ d) Điểm $M(0;5;0)$,(P). thuộc mặt phẳng,Đúng Sai,Câu 14,Trong không gian Oxyz, cho hai điểm,$B(0;3;-1).$ $A(2;-1;-3);$,mệnh đề sau đây đúng hay sai? Gọi (S) là mặt cầu đường kính AB. Các,Chọn đúng hoặc sai,a) Phương trình của mặt cầu (S) là :,$(x-1)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=6$ Đúng Sai,b) Mặt cầu (S) có bán kính $R=6$,Đúng Sai,c) Mặt cầu (S) có tâm $(1;1;-2)$,Đúng,d) Mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Q),$:2x+3y-z+4=0$ Đúng,Câu 15,Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng,$d:\left\{\begin{array}lx=3+4t\y=-1-2t~(t\in\mathbb R)\z=-2+3t\end{array} ight.$ Và đường thẳng,$\Delta:\frac{x-1}{---}=\frac{y+1}{---}=\frac z{---}.$ Các mênh đề sau đây đúng hay

Question

Giúp với ạ d) Điểm $M(0;5;0)$,(P). thuộc mặt phẳng,Đúng Sai,Câu 14,Trong không gian Oxyz, cho hai điểm,$B(0;3;-1).$ $A(2;-1;-3);$,mệnh đề sau đây đúng hay sai? Gọi (S) là mặt cầu đường kính AB. Các,Chọn đúng hoặc sai,a) Phương trình của mặt cầu (S) là :,$(x-1)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=6$ Đúng Sai,b) Mặt cầu (S) có bán kính $R=6$,Đúng Sai,c) Mặt cầu (S) có tâm $(1;1;-2)$,Đúng,d) Mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Q),$:2x+3y-z+4=0$ Đúng,Câu 15,Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng,$d:\left\{\begin{array}lx=3+4t\y=-1-2t~(t\in\mathbb R)\z=-2+3t\end{array}ight.$ Và đường thẳng,$\Delta:\frac{x-1}{---}=\frac{y+1}{---}=\frac z{---}.$ Các mênh đề sau đây đúng hay

Accepted Answer

Câu 14
Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên thông tin đã cho.

a) Phương trình của mặt cầu (S) là : $(x-1)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=6$

Bước 1: Tìm trung điểm của đoạn thẳng AB
Trung điểm của đoạn thẳng AB là tâm của mặt cầu (S). Ta tính trung điểm như sau:
$$
M = \left( \frac{0 + 2}{2}, \frac{3 - 1}{2}, \frac{-1 - 3}{2} \right) = (1, 1, -2)
$$

Bước 2: Tính bán kính của mặt cầu
Bán kính của mặt cầu là khoảng cách từ tâm M đến một trong hai điểm A hoặc B. Ta tính khoảng cách từ M đến A:
$$
R = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-1 - 1)^2 + (-3 + 2)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}
$$

Bước 3: Viết phương trình mặt cầu
Phương trình mặt cầu có tâm tại (1, 1, -2) và bán kính $\sqrt{6}$ là:
$$
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 6
$$
Vậy mệnh đề này là Đúng.

b) Mặt cầu (S) có bán kính $R=6$

Từ bước 2 ở trên, ta đã tính được bán kính của mặt cầu là $\sqrt{6}$, không phải 6. Vậy mệnh đề này là Sai.

c) Mặt cầu (S) có tâm $(1;1;-2)$

Từ bước 1 ở trên, ta đã tính được trung điểm của đoạn thẳng AB là (1, 1, -2), tức là tâm của mặt cầu. Vậy mệnh đề này là Đúng.

d) Mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Q) $:2x+3y-z+4=0$

Để kiểm tra xem mặt cầu có tiếp xúc với mặt phẳng hay không, ta cần tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng và so sánh với bán kính của mặt cầu.

Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng
Công thức khoảng cách từ điểm $(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $ax + by + cz + d = 0$ là:
$$
d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
$$
Áp dụng vào tâm mặt cầu (1, 1, -2) và mặt phẳng $2x + 3y - z + 4 = 0$, ta có:
$$
d = \frac{|2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - (-2) + 4|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 + 3 + 2 + 4|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{11}{\sqrt{14}}
$$

Bước 2: So sánh khoảng cách với bán kính
Bán kính của mặt cầu là $\sqrt{6}$. Ta cần kiểm tra xem $\frac{11}{\sqrt{14}}$ có bằng $\sqrt{6}$ hay không:
$$
\frac{11}{\sqrt{14}} \approx 2.915 \quad \text{và} \quad \sqrt{6} \approx 2.449
$$
Vì $\frac{11}{\sqrt{14}} > \sqrt{6}$, nên mặt cầu không tiếp xúc với mặt phẳng. Vậy mệnh đề này là Sai.

Kết luận
- a) Đúng
- b) Sai
- c) Đúng
- d) Sai

Câu 15
Để giải quyết nhiệm vụ này, chúng ta cần kiểm tra xem các mệnh đề về hai đường thẳng $ d $ và $ \Delta $ có đúng hay không. Trước tiên, chúng ta sẽ viết lại phương trình của đường thẳng $ \Delta $ dưới dạng tham số để dễ dàng so sánh với đường thẳng $ d $.

Phương trình tham số của đường thẳng $ d $ đã cho là:
$$ d: \left\{
\begin{array}{l}
x = 3 + 4t \
y = -1 - 2t \
z = -2 + 3t
\end{array}
\right. $$

Phương trình tham số của đường thẳng $ \Delta $ là:
$$ \Delta: \left\{
\begin{array}{l}
x = 1 + at \
y = -1 + bt \
z = ct
\end{array}
\right. $$
với $ a, b, c $ là các hằng số chưa biết.

Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề:

1. Mệnh đề 1: Hai đường thẳng $ d $ và $ \Delta $ song song.
   - Điều kiện để hai đường thẳng song song là các vector chỉ phương của chúng phải cùng phương, tức là tỉ lệ của các thành phần tương ứng phải bằng nhau.
   - Vector chỉ phương của đường thẳng $ d $ là $ \vec{u}_d = (4, -2, 3) $.
   - Vector chỉ phương của đường thẳng $ \Delta $ là $ \vec{u}_\Delta = (a, b, c) $.

Để hai đường thẳng song song, ta cần:
   $$ \frac{a}{4} = \frac{b}{-2} = \frac{c}{3} $$

2. Mệnh đề 2: Hai đường thẳng $ d $ và $ \Delta $ chéo nhau.
   - Hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không song song và không cắt nhau.
   - Ta đã kiểm tra điều kiện song song ở trên. Nếu các tỉ lệ không bằng nhau, hai đường thẳng không song song.
   - Để kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau hay không, ta cần giải hệ phương trình:
     $$ \left\{
     \begin{array}{l}
     3 + 4t_1 = 1 + at_2 \
     -1 - 2t_1 = -1 + bt_2 \
     -2 + 3t_1 = ct_2
     \end{array}
     \right. $$
   - Nếu hệ phương trình này vô nghiệm, hai đường thẳng chéo nhau.

3. Mệnh đề 3: Hai đường thẳng $ d $ và $ \Delta $ cắt nhau.
   - Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là hệ phương trình trên phải có nghiệm duy nhất.

4. Mệnh đề 4: Hai đường thẳng $ d $ và $ \Delta $ trùng nhau.
   - Điều kiện để hai đường thẳng trùng nhau là các vector chỉ phương của chúng cùng phương và điểm thuộc một đường thẳng cũng thuộc đường thẳng kia.
   - Ta đã kiểm tra điều kiện vector chỉ phương ở trên. Nếu các tỉ lệ bằng nhau và điểm thuộc một đường thẳng cũng thuộc đường thẳng kia, hai đường thẳng trùng nhau.

Tóm lại, để kiểm tra từng mệnh đề, ta cần:
- Kiểm tra điều kiện song song bằng cách so sánh các tỉ lệ của các thành phần vector chỉ phương.
- Giải hệ phương trình để kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau hay không.
- Kiểm tra điều kiện trùng nhau bằng cách kiểm tra cả vector chỉ phương và điểm thuộc đường thẳng.

Vì không có thông tin cụ thể về các hằng số $ a, b, c $, chúng ta không thể kết luận chắc chắn về các mệnh đề. Tuy nhiên, dựa vào phương pháp trên, ta có thể kiểm tra từng trường hợp cụ thể.