làm với ạ 🥲 Câu 18. Tìm $\int\frac{x^3+7x^2+9}{x^3}dx$,$A.~-\frac94\frac1{x^4}+7\ln x+x+C$ $B.~-\frac92\frac1{x^2}+7\ln|x|+x+C$,$C.~-18\frac1{x^2}+7\ln|x|+x+C$ $D.~-\frac92\frac1{x^2}+7\ln x+x+C$,Câu 19. Giá trị của $\int^{\frac\pi2}_0(10\cos9x+4)dx$ bằng,$A.~-\frac29\pi-\frac59$ $B.~2\pi+\frac{10}9$ $C.~2\pi-\frac{10}9$ $D.~\frac29\pi+\frac59$,Câu 20. Biết $I=\int^{\frac\pi3}_{\frac\pi6}-3 an xdx=a\ln3.$ Tính a.,$A.~-\frac52$ $B.~-3$ $C.~0$ $D.~-\frac32$

Question

làm với ạ 🥲 Câu 18. Tìm $\int\frac{x^3+7x^2+9}{x^3}dx$,$A.~-\frac94\frac1{x^4}+7\ln x+x+C$ $B.~-\frac92\frac1{x^2}+7\ln|x|+x+C$,$C.~-18\frac1{x^2}+7\ln|x|+x+C$ $D.~-\frac92\frac1{x^2}+7\ln x+x+C$,Câu 19. Giá trị của $\int^{\frac\pi2}_0(10\cos9x+4)dx$ bằng,$A.~-\frac29\pi-\frac59$ $B.~2\pi+\frac{10}9$ $C.~2\pi-\frac{10}9$ $D.~\frac29\pi+\frac59$,Câu 20. Biết $I=\int^{\frac\pi3}_{\frac\pi6}-3	an xdx=a\ln3.$ Tính a.,$A.~-\frac52$ $B.~-3$ $C.~0$ $D.~-\frac32$

Accepted Answer

Câu 18.
Để tính $\int\frac{x^3+7x^2+9}{x^3}dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Rút gọn phân thức trong tích phân:
$$
\frac{x^3 + 7x^2 + 9}{x^3} = \frac{x^3}{x^3} + \frac{7x^2}{x^3} + \frac{9}{x^3} = 1 + \frac{7}{x} + \frac{9}{x^3}
$$

Bước 2: Tính tích phân từng phần:
$$
\int \left(1 + \frac{7}{x} + \frac{9}{x^3}\right) dx = \int 1 \, dx + \int \frac{7}{x} \, dx + \int \frac{9}{x^3} \, dx
$$

Bước 3: Tính từng tích phân riêng lẻ:
$$
\int 1 \, dx = x + C_1
$$
$$
\int \frac{7}{x} \, dx = 7 \ln |x| + C_2
$$
$$
\int \frac{9}{x^3} \, dx = 9 \int x^{-3} \, dx = 9 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C_3 = -\frac{9}{2} \frac{1}{x^2} + C_3
$$

Bước 4: Kết hợp các kết quả lại:
$$
\int \left(1 + \frac{7}{x} + \frac{9}{x^3}\right) dx = x + 7 \ln |x| - \frac{9}{2} \frac{1}{x^2} + C
$$

Vậy đáp án đúng là:
$$
B.~-\frac{9}{2}\frac{1}{x^2} + 7 \ln |x| + x + C
$$

Câu 19.
Để tính giá trị của $\int^{\frac\pi2}_0(10\cos9x+4)dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tách tích phân thành hai phần:
$$
\int^{\frac\pi2}_0(10\cos9x+4)dx = \int^{\frac\pi2}_0 10\cos9x \, dx + \int^{\frac\pi2}_0 4 \, dx
$$

Bước 2: Tính từng phần riêng lẻ.

Phần thứ nhất:
$$
\int^{\frac\pi2}_0 10\cos9x \, dx
$$
Sử dụng phương pháp thay đổi biến số, đặt $ u = 9x $. Khi đó $ du = 9 \, dx $ và $ dx = \frac{1}{9} \, du $.

Khi $ x = 0 $, $ u = 0 $. Khi $ x = \frac{\pi}{2} $, $ u = \frac{9\pi}{2} $.

Do đó:
$$
\int^{\frac\pi2}_0 10\cos9x \, dx = \int^{9\frac{\pi}{2}}_0 10\cos u \cdot \frac{1}{9} \, du = \frac{10}{9} \int^{9\frac{\pi}{2}}_0 \cos u \, du
$$
Tích phân của $ \cos u $ là $ \sin u $:
$$
\frac{10}{9} \left[ \sin u \right]^{9\frac{\pi}{2}}_0 = \frac{10}{9} \left( \sin \left( \frac{9\pi}{2} \right) - \sin 0 \right)
$$
Biết rằng $ \sin \left( \frac{9\pi}{2} \right) = \sin \left( 4\pi + \frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 $:
$$
\frac{10}{9} \left( 1 - 0 \right) = \frac{10}{9}
$$

Phần thứ hai:
$$
\int^{\frac\pi2}_0 4 \, dx = 4 \left[ x \right]^{\frac\pi2}_0 = 4 \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = 2\pi
$$

Bước 3: Cộng lại hai kết quả:
$$
\int^{\frac\pi2}_0(10\cos9x+4)dx = \frac{10}{9} + 2\pi
$$

Vậy giá trị của tích phân là:
$$
2\pi + \frac{10}{9}
$$

Đáp án đúng là: $ B.~2\pi+\frac{10}9 $

Câu 20.
Để tính giá trị của $ I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} -3\tan x \, dx $ và so sánh với $ a \ln 3 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm nguyên hàm của $-3\tan x$:
   Ta biết rằng $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Do đó,
   $$
   -3\tan x = -3 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}.
   $$
   Nguyên hàm của $\frac{\sin x}{\cos x}$ là $-\ln|\cos x|$. Vậy,
   $$
   \int -3\tan x \, dx = -3 \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = -3 (-\ln|\cos x|) = 3 \ln|\cos x|.
   $$

2. Áp dụng cận trên và cận dưới vào nguyên hàm:
   $$
   I = \left[ 3 \ln|\cos x| \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}.
   $$
   Thay các giá trị cận vào:
   $$
   I = 3 \ln \left| \cos \frac{\pi}{3} \right| - 3 \ln \left| \cos \frac{\pi}{6} \right|.
   $$
   Biết rằng $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ và $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, ta có:
   $$
   I = 3 \ln \left( \frac{1}{2} \right) - 3 \ln \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right).
   $$

3. Sử dụng tính chất của lôgarit để đơn giản hóa:
   $$
   I = 3 \left( \ln \frac{1}{2} - \ln \frac{\sqrt{3}}{2} \right).
   $$
   Áp dụng tính chất $\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b$:
   $$
   I = 3 \left( \ln 1 - \ln 2 - (\ln \sqrt{3} - \ln 2) \right).
   $$
   Biết rằng $\ln 1 = 0$ và $\ln \sqrt{3} = \frac{1}{2} \ln 3$, ta có:
   $$
   I = 3 \left( 0 - \ln 2 - \left( \frac{1}{2} \ln 3 - \ln 2 \right) \right).
   $$
   Đơn giản hóa tiếp:
   $$
   I = 3 \left( -\ln 2 - \frac{1}{2} \ln 3 + \ln 2 \right) = 3 \left( -\frac{1}{2} \ln 3 \right) = -\frac{3}{2} \ln 3.
   $$

4. So sánh với $a \ln 3$:
   Ta thấy rằng $I = -\frac{3}{2} \ln 3$. Do đó, $a = -\frac{3}{2}$.

Vậy đáp án đúng là:
$$ D.~-\frac{3}{2} $$