Nnnnnnjnnn Câu 5,Một hòn đảo nằm trong một vịnh biển. Biết rằng đường,cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa,độ Oxy là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $f(x).$ Đơn,vị trên hệ trục là 100m Vị trí điểm cực đại là $(2;5),$ vị trí,điểm cực tiểu là $(0;1).$ Mặt đường chạy trên một đường,thẳng có phương trình $y=36-9x.$ Người ta muốn làm,một cây cầu có dạng là một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra,mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu là bao nhiêu,mét? (làm tròn đến hàng phần trục),,Đáp án của bạn

Question

Nnnnnnjnnn Câu 5,Một hòn đảo nằm trong một vịnh biển. Biết rằng đường,cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa,độ Oxy là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $f(x).$ Đơn,vị trên hệ trục là 100m Vị trí điểm cực đại là $(2;5),$ vị trí,điểm cực tiểu là $(0;1).$ Mặt đường chạy trên một đường,thẳng có phương trình $y=36-9x.$ Người ta muốn làm,một cây cầu có dạng là một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra,mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu là bao nhiêu,mét? (làm tròn đến hàng phần trục),<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/754c24abb8de4536b47da4af1ec3d31b.jpg />,Đáp án của bạn

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình của hàm số bậc ba $ f(x) $.
2. Tìm điểm trên đồ thị của $ f(x) $ sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng $ y = 36 - 9x $ là ngắn nhất.
3. Tính khoảng cách ngắn nhất đó.

Bước 1: Xác định phương trình của hàm số bậc ba $ f(x) $

Hàm số bậc ba có dạng:
$$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$

Biết rằng điểm cực đại là $ (2;5) $ và điểm cực tiểu là $ (0;1) $.

Từ điểm cực đại và cực tiểu, ta có:
$$ f(2) = 5 $$
$$ f(0) = 1 $$

Phương trình đạo hàm của $ f(x) $:
$$ f&#x27;(x) = 3ax^2 + 2bx + c $$

Tại điểm cực đại $ x = 2 $:
$$ f&#x27;(2) = 0 \Rightarrow 3a(2)^2 + 2b(2) + c = 0 \Rightarrow 12a + 4b + c = 0 $$

Tại điểm cực tiểu $ x = 0 $:
$$ f&#x27;(0) = 0 \Rightarrow c = 0 $$

Thay $ c = 0 $ vào phương trình đạo hàm:
$$ 12a + 4b = 0 \Rightarrow 3a + b = 0 \Rightarrow b = -3a $$

Bây giờ, thay $ b = -3a $ và $ c = 0 $ vào phương trình ban đầu:
$$ f(x) = ax^3 - 3ax^2 + d $$

Sử dụng điều kiện $ f(0) = 1 $:
$$ f(0) = d = 1 $$

Sử dụng điều kiện $ f(2) = 5 $:
$$ f(2) = a(2)^3 - 3a(2)^2 + 1 = 5 $$
$$ 8a - 12a + 1 = 5 $$
$$ -4a + 1 = 5 $$
$$ -4a = 4 $$
$$ a = -1 $$

Do đó, $ b = -3(-1) = 3 $.

Phương trình của hàm số bậc ba là:
$$ f(x) = -x^3 + 3x^2 + 1 $$

Bước 2: Tìm điểm trên đồ thị của $ f(x) $ sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng $ y = 36 - 9x $ là ngắn nhất

Khoảng cách từ một điểm $ (x_0, y_0) $ đến đường thẳng $ Ax + By + C = 0 $ là:
$$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

Đường thẳng $ y = 36 - 9x $ có dạng $ 9x + y - 36 = 0 $.

Khoảng cách từ điểm $ (x, f(x)) $ đến đường thẳng $ 9x + y - 36 = 0 $ là:
$$ d = \frac{|9x + (-x^3 + 3x^2 + 1) - 36|}{\sqrt{9^2 + 1^2}} = \frac{|-x^3 + 3x^2 + 9x - 35|}{\sqrt{82}} $$

Để khoảng cách này ngắn nhất, ta cần tìm giá trị của $ x $ sao cho $ |-x^3 + 3x^2 + 9x - 35| $ nhỏ nhất.

Bước 3: Tính khoảng cách ngắn nhất

Ta có thể sử dụng đạo hàm để tìm giá trị của $ x $ sao cho $ g(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 35 $ đạt giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất.

$$ g&#x27;(x) = -3x^2 + 6x + 9 $$

Tìm nghiệm của phương trình đạo hàm:
$$ -3x^2 + 6x + 9 = 0 $$
$$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$
$$ (x - 3)(x + 1) = 0 $$
$$ x = 3 \text{ hoặc } x = -1 $$

Kiểm tra giá trị của $ g(x) $ tại các điểm này:
$$ g(3) = -(3)^3 + 3(3)^2 + 9(3) - 35 = -27 + 27 + 27 - 35 = -8 $$
$$ g(-1) = -(-1)^3 + 3(-1)^2 + 9(-1) - 35 = 1 + 3 - 9 - 35 = -40 $$

Giá trị nhỏ nhất của $ |g(x)| $ là 8 tại $ x = 3 $.

Khoảng cách ngắn nhất là:
$$ d = \frac{8}{\sqrt{82}} \approx 0.88 \text{ (đơn vị là 100m)} $$

Do đó, độ dài ngắn nhất của cây cầu là:
$$ 0.88 \times 100 = 88 \text{ mét} $$

Đáp số: 88 mét.