Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M nằm trên nửa đường tròn (M # A; B). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh rằng tứ giác OMDB nội tiếp . Chứng minh rằng góc CAM bằng góc ODM
b) Gọi P là giao điểm CD và AB . chứng minh : PA.PO=PC.PM
c) Gọi E là giao điểm của AM và BD; F là giao điểm của AC và BM. P là giao điểm của BA và DC. Chứng minh E; F; P thẳng hàng

Question

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M nằm trên nửa đường tròn (M # A; B). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại C và D. 
a) Chứng minh rằng tứ giác OMDB nội tiếp . Chứng minh rằng góc CAM bằng góc ODM
b) Gọi P là giao điểm CD và AB . chứng minh : PA.PO=PC.PM
c) Gọi E là giao điểm của AM và BD; F là giao điểm của AC và BM. P là giao điểm của BA và DC. Chứng minh E; F; P thẳng hàng

Accepted Answer

a)

Tổng của các góc đối diện trong tứ giác bằng $ 180^\circ $.

- Điều kiện: Tứ giác nội tiếp nếu và chỉ nếu tổng các góc đối diện trong tứ giác bằng $ 180^\circ $.

Ta xét các góc sau trong tứ giác $ OMDB $:

1. Góc $ \angle OMB $: Đây là góc tại tâm của nửa đường tròn (O), và theo tính chất của góc ở tâm, ta có:
$$
\angle OMB = 90^\circ
$$
Vì $ OM $ là bán kính của nửa đường tròn (O) và $ MB $ là tiếp tuyến tại $ M $, góc giữa tiếp tuyến và bán kính luôn bằng $ 90^\circ $.

2. Góc $ \angle ODB $: Đây là góc ngoài của tứ giác $ OMDB $, với $ D $ là điểm cắt của các tiếp tuyến. Vì $ C $ và $ D $ đều nằm trên đường tròn $ O $, ta có:
$$
\angle ODB = 90^\circ
$$
Tương tự như với góc $ \angle OMB $, góc này cũng bằng $ 90^\circ $ do tính chất của góc ngoài đối với tiếp tuyến và bán kính.

Khi cộng lại, ta có:
$$
\angle OMB + \angle ODB = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
$$
Điều này chứng tỏ rằng tứ giác $ OMDB $ là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh rằng góc $ \angle CAM = \angle ODM $

Để chứng minh rằng $ \angle CAM = \angle ODM $, ta sẽ sử dụng tính chất của các góc tạo thành bởi các tiếp tuyến.

- $ CA $ và $ DB $ là các tiếp tuyến của đường tròn tại các điểm $ A $ và $ B $, vì vậy các góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại các điểm tiếp xúc đều bằng $ 90^\circ $.
- Vì $ OM $ là bán kính của nửa đường tròn (O), góc $ \angle OMB = 90^\circ $ và các góc $ \angle OMC $, $ \angle OMD $ cũng liên quan đến các tiếp tuyến và các bán kính.

Từ tính chất của tiếp tuyến và tiếp điểm trên đường tròn, ta có:
$$
\angle CAM = \angle OMC \quad \text{và} \quad \angle ODM = \angle OMD
$$
Vì các tam giác $ OMC $ và $ OMD $ là tam giác vuông và đồng dạng (do chung góc $ \angle OMB $ và góc vuông), ta có:
$$
\angle CAM = \angle ODM
$$

Kết luận:
- Tứ giác $ OMDB $ là tứ giác nội tiếp.
- $ \angle CAM = \angle ODM $.

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M nằm trên nửa đường tròn (M # A; B). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại C và D. a) Chứng minh rằng tứ giác OMDB nội...