giải chi tiết

Câu 1. Trước tiên, ta xác định tâm của hình vuông là điểm O. Tâm này nằm ở giao điểm của hai đường chéo của hình vuông. Ta thấy rằng miền D bao gồm các điểm có khoảng cách tới tâm nhỏ hơn hoặc bằng khoảng cách tới cạnh gần nhất. Điều này có nghĩa là miền D sẽ nằm trong một hình tròn tâm O và bán kính bằng khoảng cách từ tâm O đến cạnh gần nhất của hình vuông. Khoảng cách từ tâm O đến cạnh gần nhất của hình vuông là: \[ \frac{4}{2} = 2 \] Vậy bán kính của hình tròn là 2. Diện tích của hình tròn này là: \[ S_{\text{hình tròn}} = \pi \times r^2 = \pi \times 2^2 = 4\pi \] Diện tích của hình vuông là: \[ S_{\text{hình vuông}} = 4 \times 4 = 16 \] Miền D chiếm một nửa diện tích của hình tròn này vì nó nằm trong một phần của hình tròn mà tâm của nó nằm ở tâm của hình vuông và bán kính là khoảng cách từ tâm đến cạnh gần nhất. Do đó, diện tích của miền D là: \[ S_{\text{miền D}} = \frac{1}{2} \times 4\pi = 2\pi \] Làm tròn kết quả đến hàng phần chục: \[ 2\pi \approx 2 \times 3.14 = 6.28 \] Vậy diện tích của miền D là: \[ 6.3 \] Câu 2. Để tìm thời gian cần thiết để số lượng loài sinh vật đạt 80000, ta thực hiện các bước sau: 1. Thay số vào công thức: Ta có công thức số lượng loài sinh vật là: \[ P(t) = \frac{1000000}{1 + 4e^{-t}} \] Ta cần tìm thời gian \( t \) sao cho \( P(t) = 80000 \). Do đó, ta thay \( P(t) = 80000 \) vào công thức: \[ 80000 = \frac{1000000}{1 + 4e^{-t}} \] 2. Giải phương trình: Nhân cả hai vế với \( 1 + 4e^{-t} \): \[ 80000(1 + 4e^{-t}) = 1000000 \] Chia cả hai vế cho 80000: \[ 1 + 4e^{-t} = \frac{1000000}{80000} \] \[ 1 + 4e^{-t} = 12.5 \] Trừ 1 từ cả hai vế: \[ 4e^{-t} = 11.5 \] Chia cả hai vế cho 4: \[ e^{-t} = \frac{11.5}{4} \] \[ e^{-t} = 2.875 \] Lấy logarit tự nhiên (ln) của cả hai vế: \[ -t = \ln(2.875) \] Tính giá trị của \( \ln(2.875) \): \[ \ln(2.875) \approx 1.055 \] Do đó: \[ -t = 1.055 \] \[ t = -1.055 \] Vì thời gian không thể âm, ta lấy giá trị tuyệt đối: \[ t \approx 1.055 \] 3. Làm tròn kết quả: Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: \[ t \approx 1.06 \] Vậy thời gian cần thiết để số lượng loài sinh vật đạt 80000 là khoảng 1.06 năm. Đáp số: 1.06 năm. Câu 3. Số cách chọn ngẫu nhiên 8 trong 16 cuốn sách là: $ C_{16}^{8} = 12870 $ Số cách chọn 8 cuốn sách sao cho số sách còn lại không đủ cả 3 môn là: $ C_{4}^{4}.C_{12}^{4} + C_{5}^{5}.C_{11}^{3} + C_{7}^{7}.C_{9}^{1} = 1035 $ Suy ra Số cách chọn 8 cuốn sách sao cho số sách còn lại đủ cả 3 môn là: $ 12870 - 1035 = 11835 $ Vậy xác suất để số sách còn lại của thầy có đủ cả 3 môn là: $ \frac{11835}{12870} \approx 0,92 $ Đáp số: 0,92 Câu 4. Trước tiên, ta xác định góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc giữa hai đường thẳng $SH$ và $AH$, trong đó $H$ là trung điểm của $BC$. Ta có: - Tam giác $SAB$ là tam giác đều nên $SA = SB = AB$. - Mặt bên $(SAB)$ vuông góc với mặt đáy $(ABC)$, do đó $SH$ vuông góc với $AH$. - Ta tính $SH$ và $AH$: + Vì $SAB$ là tam giác đều, nên $SH = \frac{\sqrt{3}}{2} SA$. + Vì $ABC$ là tam giác đều, nên $AH = \frac{\sqrt{3}}{2} AB$. - Ta tính $\cos \alpha$: + $\cos \alpha = \frac{AH}{SH} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} AB}{\frac{\sqrt{3}}{2} SA} = \frac{AB}{SA}$. + Vì $SA = AB$, nên $\cos \alpha = 1$. - Ta tính $\cos^2 \alpha$: + $\cos^2 \alpha = 1^2 = 1$. Vậy $\cos^2 \alpha = 1$.