Bxosnrhocaneoxlabdocla ẹcla evchOw

Câu 12. Để tìm góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$, ta cần xác định các vector chỉ phương của chúng. Đường thẳng $\Delta_1$ có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 5 - 2t \\ y = 5 + 3t \\ z = 2t \end{array} \right. \] Vector chỉ phương của $\Delta_1$ là $\vec{u}_1 = (-2, 3, 2)$. Đường thẳng $\Delta_2$ có phương trình: \[ \frac{x-1}{1} = \frac{y+3}{-2} = \frac{z-6}{4} \] Vector chỉ phương của $\Delta_2$ là $\vec{u}_2 = (1, -2, 4)$. Góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là góc giữa hai vector chỉ phương $\vec{u}_1$ và $\vec{u}_2$. Ta tính tích vô hướng của hai vector này: \[ \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = (-2) \cdot 1 + 3 \cdot (-2) + 2 \cdot 4 = -2 - 6 + 8 = 0 \] Vì tích vô hướng bằng 0, nên hai vector chỉ phương vuông góc với nhau. Do đó, góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là $90^\circ$. Đáp án đúng là: B. $90^\circ$. Câu 13 Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), ta cần kiểm tra các điều kiện sau: 1. Kiểm tra xem hai đường thẳng có trùng nhau không: - Đường thẳng \(d_1\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u}_1 = (2, 1, -2)\). - Đường thẳng \(d_2\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u}_2 = (-2, -1, 2)\). Ta thấy rằng \(\vec{u}_2 = -1 \cdot \vec{u}_1\), tức là hai vectơ chỉ phương này là đối nhau. Do đó, hai đường thẳng có thể trùng nhau hoặc song song. 2. Kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau không: - Để hai đường thẳng cắt nhau, chúng phải nằm trong cùng một mặt phẳng. Ta sẽ kiểm tra xem điểm \(M(1, 0, -2)\) trên \(d_1\) có thuộc \(d_2\) không. Thay tọa độ điểm \(M(1, 0, -2)\) vào phương trình tham số của \(d_2\): \[ \frac{x + 2}{-2} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z}{2} \] Thay \(x = 1\), \(y = 0\), \(z = -2\) vào: \[ \frac{1 + 2}{-2} = \frac{0 - 1}{-1} = \frac{-2}{2} \] \[ \frac{3}{-2} = 1 = -1 \] Điều này là vô lý, do đó điểm \(M(1, 0, -2)\) không thuộc \(d_2\). Vậy hai đường thẳng không cắt nhau. 3. Kết luận: - Vì hai đường thẳng có vectơ chỉ phương đối nhau nhưng không trùng nhau, nên chúng song song. Vậy đáp án đúng là: C. Song song. Câu 14. Để tính cos giữa hai tia sáng có phương trình lần lượt là $d_1:\frac x2=\frac y1=\frac z{-1},~d_2:\frac{x-1}3=\frac{y-1}3=\frac{z-1}9$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng $d_1$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_1 = (2, 1, -1)$. - Đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_2 = (3, 3, 9)$. Bước 2: Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương: \[ \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 2 \times 3 + 1 \times 3 + (-1) \times 9 = 6 + 3 - 9 = 0 \] Bước 3: Tính độ dài của mỗi vectơ chỉ phương: \[ |\vec{u}_1| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] \[ |\vec{u}_2| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 9^2} = \sqrt{9 + 9 + 81} = \sqrt{99} = 3\sqrt{11} \] Bước 4: Tính cos giữa hai vectơ chỉ phương: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{0}{\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{11}} = 0 \] Vậy cos giữa hai tia sáng là 0. Đáp án đúng là: B. 0. Câu15 Để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(M_1M_2\), ta cần xác định tọa độ của các điểm \(M_1\) và \(M_2\). - Điểm \(M_1\) là hình chiếu vuông góc của \(M(1;2;3)\) lên trục \(Ox\). Do đó, tọa độ của \(M_1\) là \((1;0;0)\). - Điểm \(M_2\) là hình chiếu vuông góc của \(M(1;2;3)\) lên trục \(Oy\). Do đó, tọa độ của \(M_2\) là \((0;2;0)\). Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(M_1M_2\) là: \[ \overrightarrow{M_1M_2} = (0 - 1; 2 - 0; 0 - 0) = (-1; 2; 0) \] Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(M_1M_2\) là \(\overrightarrow{u_4} = (-1; 2; 0)\). Đáp án đúng là: A. \(\overrightarrow{u_4} = (-1; 2; 0)\). Câu 16 Để tìm tọa độ của một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta\), ta cần hiểu rằng véc tơ pháp tuyến của một đường thẳng trong không gian là véc tơ vuông góc với véc tơ chỉ phương của đường thẳng đó. Đường thẳng \(\Delta\) có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 4t \\ y = 1 - 6t \\ z = 9t \end{array} \right. \] Từ phương trình tham số này, ta thấy véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\) là \(\vec{d} = (4, -6, 9)\). Một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta\) sẽ là véc tơ vuông góc với \(\vec{d}\). Ta có thể tìm một véc tơ vuông góc với \(\vec{d}\) bằng cách sử dụng phép nhân vectơ (suy ra từ tính chất của tích vô hướng). Giả sử véc tơ pháp tuyến cần tìm là \(\vec{n} = (a, b, c)\). Để \(\vec{n}\) vuông góc với \(\vec{d}\), ta có: \[ \vec{n} \cdot \vec{d} = 0 \] \[ (4, -6, 9) \cdot (a, b, c) = 0 \] \[ 4a - 6b + 9c = 0 \] Ta cần tìm các giá trị \(a\), \(b\), và \(c\) thỏa mãn phương trình trên. Một cách đơn giản để tìm các giá trị này là chọn hai trong ba biến và giải phương trình còn lại. Chọn \(a = 3\), \(b = 2\): \[ 4(3) - 6(2) + 9c = 0 \] \[ 12 - 12 + 9c = 0 \] \[ 9c = 0 \] \[ c = 0 \] Vậy một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta\) là \((3, 2, 0)\). Do đó, tọa độ của một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta\) là \((3, 2, 0)\). Đáp số: \((3, 2, 0)\).