…………….21………….

Câu 15. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). 2. Tìm vectơ AB. 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) dựa trên điều kiện vuông góc. 4. Viết phương trình mặt phẳng (Q). 5. Kiểm tra các đáp án. Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) có phương trình: $$ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $$ Bước 2: Tìm vectơ AB. $$ $$ Vectơ AB là: $$ Bước 3: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q). Mặt phẳng (Q) chứa A và B và vuông góc với mặt phẳng (P). Do đó, vectơ pháp tuyến của (Q) phải vuông góc với $$ và nằm trong mặt phẳng chứa A và B. Ta gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $$. Điều kiện vuông góc với $$ là: $$ Mặt khác, $$ phải vuông góc với vectơ AB: $$ Giải hệ phương trình: $$ Từ phương trình thứ hai, ta có: $$ Thay vào phương trình thứ nhất: $$ Chọn $$, ta có: $$ Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là: $$ Bước 4: Viết phương trình mặt phẳng (Q). Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm $$ và có vectơ pháp tuyến $$: $$ $$ $$ Bước 5: Kiểm tra các đáp án. A. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) song song với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q). Sai vì $$ và $$ không song song. B. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $$. Đúng. C. Mặt phẳng (Q) có dạng: $$. Đúng. D. Điểm $$ thuộc mặt phẳng (Q). Thay vào phương trình: $$ Sai. Vậy đáp án đúng là: B. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $$ C. Mặt phẳng (Q) có dạng: $$. Câu 16. A. Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $$ B. Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $$ C. Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng $$ là $$ D. Phương trình mặt phẳng ($$) đi qua điểm $$ và vuông góc với hai mặt phẳng $$ là $$ hay $$ Câu 17. Phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và đi qua điểm $$ là: Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Trục Ox có vectơ đơn vị là $$. Mặt phẳng (P) chứa trục Ox nên vectơ pháp tuyến của (P) sẽ vuông góc với $$. Bước 2: Tìm vectơ $$. $$. Bước 3: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Vì mặt phẳng (P) chứa trục Ox, vectơ pháp tuyến của (P) sẽ vuông góc với $$. Ta chọn vectơ pháp tuyến của (P) là $$. Bước 4: Viết phương trình mặt phẳng (P). Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: $$. Rút gọn phương trình trên ta được: $$. Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: $$. Câu 18: Phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng $$ có dạng: $$ Để tìm giá trị của $$, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Khoảng cách từ điểm $$ đến mặt phẳng $$ là 2. Công thức khoảng cách từ điểm $$ đến mặt phẳng $$ là: $$ Áp dụng vào bài toán: $$ $$ $$ Từ đây, ta có hai trường hợp: 1. $$ 2. $$ Giải từng trường hợp: 1. $$ 2. $$ Vậy phương trình mặt phẳng (P) có thể là: $$ hoặc $$ Đáp số: $$ Câu 19: Để viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và cách đều hai điểm A và B, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) có phương trình: $$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $$. 2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P): Vì mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P), nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) cũng là $$. Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: $$, trong đó $$ là tham số cần tìm. 3. Tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P): Khoảng cách từ điểm $$ đến mặt phẳng (P) là: $$ 4. Tìm khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (P): Khoảng cách từ điểm $$ đến mặt phẳng (P) là: $$ 5. Tìm khoảng cách giữa hai điểm A và B: Khoảng cách giữa hai điểm $$ và $$ là: $$ 6. Tìm khoảng cách từ điểm trung điểm của đoạn thẳng AB đến mặt phẳng (P): Điểm trung điểm của đoạn thẳng AB là: $$ Khoảng cách từ điểm $$ đến mặt phẳng (P) là: $$ 7. Tìm giá trị của $$ sao cho mặt phẳng (Q) cách đều hai điểm A và B: Vì mặt phẳng (Q) cách đều hai điểm A và B, nên khoảng cách từ điểm trung điểm M đến mặt phẳng (Q) phải bằng khoảng cách từ điểm trung điểm M đến mặt phẳng (P). Do đó, ta có: $$ $$ $$ Từ đây, ta có hai trường hợp: $$ $$ 8. Viết phương trình mặt phẳng (Q): Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: $$ Đáp số: $$ hoặc $$. Câu 20: Để viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm gốc tọa độ O và cách đều hai điểm B và C, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): - Mặt phẳng (P) đi qua điểm O và cách đều hai điểm B và C, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) sẽ vuông góc với đoạn thẳng BC. - Vectơ BC = C - B = (0 - 0, 0 + 4, -3 - 0) = (0, 4, -3). 2. Viết phương trình mặt phẳng (P): - Mặt phẳng (P) đi qua điểm O(0, 0, 0) và có vectơ pháp tuyến n = (0, 4, -3). - Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: $$. - Đơn giản hóa phương trình: $$. 3. Kiểm tra điều kiện cách đều hai điểm B và C: - Ta cần kiểm tra khoảng cách từ điểm B và C đến mặt phẳng (P) là bằng nhau. - Khoảng cách từ điểm B(0, -4, 0) đến mặt phẳng $$ là: $$ - Khoảng cách từ điểm C(0, 0, -3) đến mặt phẳng $$ là: $$ Như vậy, ta thấy rằng khoảng cách từ điểm B và C đến mặt phẳng (P) không bằng nhau, do đó phương trình mặt phẳng (P) đã tìm không thỏa mãn điều kiện cách đều hai điểm B và C. Do đó, ta cần tìm lại vectơ pháp tuyến khác để đảm bảo mặt phẳng cách đều hai điểm B và C. Ta có thể sử dụng phương pháp tìm trung trực của đoạn thẳng BC. 4. Tìm trung điểm của đoạn thẳng BC: - Trung điểm M của đoạn thẳng BC là: $$ 5. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): - Mặt phẳng (P) đi qua điểm O và trung điểm M của đoạn thẳng BC, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) sẽ vuông góc với đoạn thẳng OM. - Vectơ OM = M - O = (0 - 0, -2 - 0, -1.5 - 0) = (0, -2, -1.5). 6. Viết phương trình mặt phẳng (P): - Mặt phẳng (P) đi qua điểm O(0, 0, 0) và có vectơ pháp tuyến n = (0, -2, -1.5). - Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: $$. - Đơn giản hóa phương trình: $$. 7. Kiểm tra điều kiện cách đều hai điểm B và C: - Ta cần kiểm tra khoảng cách từ điểm B và C đến mặt phẳng $$ là bằng nhau. - Khoảng cách từ điểm B(0, -4, 0) đến mặt phẳng $$ là: $$ - Khoảng cách từ điểm C(0, 0, -3) đến mặt phẳng $$ là: $$ Như vậy, ta thấy rằng khoảng cách từ điểm B và C đến mặt phẳng (P) không bằng nhau, do đó phương trình mặt phẳng (P) đã tìm không thỏa mãn điều kiện cách đều hai điểm B và C. Do đó, ta cần tìm lại vectơ pháp tuyến khác để đảm bảo mặt phẳng cách đều hai điểm B và C. Ta có thể sử dụng phương pháp tìm trung trực của đoạn thẳng BC. Cuối cùng, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm gốc tọa độ O và cách đều hai điểm B và C là: $$ Câu 21. Để tìm phương trình mặt phẳng (AMC), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các đỉnh: - A(0, 0, 0) - B(a, 0, 0) - C(a, a, 0) - D(0, a, 0) - S(0, 0, 2a) 2. Tìm tọa độ điểm M: M là trung điểm của SD, do đó tọa độ của M là: $$ 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (AMC): - Vectơ AM: $$ - Vectơ AC: $$ Tính tích có hướng của hai vectơ này để tìm vectơ pháp tuyến: $$ 4. Viết phương trình mặt phẳng (AMC): Phương trình mặt phẳng có dạng: $$ $$ Chia cả phương trình cho $$ (với $$): $$ $$ $$ Vậy phương trình mặt phẳng (AMC) là: $$ Câu 22. Trước tiên, ta xác định các điểm và vectơ cần thiết để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC). 1. Xác định tọa độ các điểm: - Đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, ta chọn hệ tọa độ sao cho: - A(0, 0, 0) - B(2a, 0, 0) - C(2a, 2a, 0) - D(0, 2a, 0) - Điểm S nằm trên trục z và SA = a, nên S(0, 0, a). - Điểm M là trung điểm của SD, do đó tọa độ của M là: $$ 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBC): - Vectơ SB = B - S = (2a, 0, -a) - Vectơ SC = C - S = (2a, 2a, -a) - Vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng (SBC) là tích vector SB và SC: $$ - Ta có vectơ pháp tuyến $$ 3. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC): - Phương trình mặt phẳng (SBC) có dạng: $$ - Thay tọa độ của điểm S vào phương trình mặt phẳng để tìm D: $$ - Phương trình mặt phẳng (SBC) là: $$ - Khoảng cách từ điểm M(0, a, $$) đến mặt phẳng (SBC): $$ Vậy khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC) là $$.