giải giúp mình Câu 1: Một thùng sách có 5 quyển sách Toán, 7 quyển sách Vật Lí và 4 quyển sách Hóa. Chọn ngẫu nhiên 3,cuốn sách, tính xác suất để 3 cuốn sách được chọn không cùng một loại (kết quả làm tròn đến hàng phần,trăm).,Câu 2: Một đoàn tàu gồm 3 toa đỗ ở sân ga. Có 5 hành khách bước lên tàu, mỗi hành khách độc lập với,nhau chọn ngẫu nhiên 1 toa. Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất 1 hành khách bước lên tàu (kết quả làm tròn,đến hàng phần trăm).,Câu 3: Một vật chuyển động theo quy luật $s=s(t)=\frac13t^3-\frac32t^2+10t+2$ (với t(giây) là khoảng thời gian,tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó). Tính quảng,đường mà vật đi được khi vận tốc đạt 20 m / s (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).,Câu 4: Một tấm ván hình chữ nhật ABCD được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố,sâu 2m. Cho biết $AB=1m,~AD=3,5~m.$ Tính góc giữa đường thẳng BD và đáy hố. (Kết quả làm tròn đến,độ).,Câu 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có $AB=BC=2$ và $CC^\prime=4.$ Gọi M và N lần lượt là,trung điểm của cạnh BC và AA'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng B'D''và MN bằng bao nhiêu? (Kết,quả làm tròn đến hàng phần trăm),Câu 6: Cho hai số thực $x\geq0;1\leq y\leq3$ thỏa mãn $2^{x-2y}.(2x+1)=4y+2x+4.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu,thức $P=2^{x-y-2}-x-y^2+2037?$

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Tổng số cách chọn 3 cuốn sách từ 16 cuốn sách là:

C(16, 3) = $\frac{16!}{3!(16-3)!}$ = 560

Số cách chọn 3 cuốn sách cùng loại là:

C(5, 3) + C(7, 3) + C(4, 3) = 10 + 35 + 4 = 49

Suy ra Số cách chọn 3 cuốn sách không cùng một loại là:

560 - 49 = 511

Vậy xác suất để 3 cuốn sách được chọn không cùng một loại là:

P = $\frac{511}{560}$ ≈ 0,91

Đáp số: 0,91

Câu 2:
Tổng số cách để 5 hành khách bước lên tàu là:
$$ 3^5 = 243 $$

Ta sẽ tính số cách để mỗi toa có ít nhất 1 hành khách bước lên tàu. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp bù trừ.

1. Số cách để tất cả 5 hành khách bước lên cùng 1 toa:
$$ 3 \times 1 = 3 $$

2. Số cách để 4 hành khách bước lên cùng 1 toa và 1 hành khách bước lên toa khác:
$$ 3 \times \binom{5}{4} \times 2 = 3 \times 5 \times 2 = 30 $$

3. Số cách để 3 hành khách bước lên cùng 1 toa và 2 hành khách bước lên toa khác:
$$ 3 \times \binom{5}{3} \times 2 = 3 \times 10 \times 2 = 60 $$

4. Số cách để 2 hành khách bước lên cùng 1 toa và 3 hành khách bước lên toa khác:
$$ 3 \times \binom{5}{2} \times 2 = 3 \times 10 \times 2 = 60 $$

5. Số cách để 1 hành khách bước lên cùng 1 toa và 4 hành khách bước lên toa khác:
$$ 3 \times \binom{5}{1} \times 2 = 3 \times 5 \times 2 = 30 $$

Số cách để mỗi toa có ít nhất 1 hành khách bước lên tàu là:
$$ 243 - (3 + 30 + 60 + 60 + 30) = 243 - 183 = 60 $$

Xác suất để mỗi toa có ít nhất 1 hành khách bước lên tàu là:
$$ \frac{60}{243} \approx 0,2469 $$

Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm:
$$ 0,25 $$

Đáp số: 0,25

Câu 3:
Đầu tiên, ta cần tìm thời điểm $ t $ khi vận tốc của vật đạt 20 m/s. Vận tốc $ v(t) $ của vật là đạo hàm của quãng đường $ s(t) $ theo thời gian $ t $.

Ta có:
$$ s(t) = \frac{1}{3}t^3 - \frac{3}{2}t^2 + 10t + 2 $$

Tính đạo hàm của $ s(t) $:
$$ v(t) = s'(t) = \left( \frac{1}{3}t^3 - \frac{3}{2}t^2 + 10t + 2 \right)' = t^2 - 3t + 10 $$

Bây giờ, ta cần tìm thời điểm $ t $ khi $ v(t) = 20 $:
$$ t^2 - 3t + 10 = 20 $$
$$ t^2 - 3t - 10 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai này:
$$ t = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} $$
$$ t = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} $$
$$ t = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} $$
$$ t = \frac{3 \pm 7}{2} $$

Ta có hai nghiệm:
$$ t_1 = \frac{3 + 7}{2} = 5 $$
$$ t_2 = \frac{3 - 7}{2} = -2 $$

Vì thời gian $ t $ không thể âm, ta chọn $ t = 5 $ giây.

Tiếp theo, ta tính quãng đường mà vật đi được trong thời gian 5 giây:
$$ s(5) = \frac{1}{3}(5)^3 - \frac{3}{2}(5)^2 + 10(5) + 2 $$
$$ s(5) = \frac{1}{3}(125) - \frac{3}{2}(25) + 50 + 2 $$
$$ s(5) = \frac{125}{3} - \frac{75}{2} + 50 + 2 $$

Quy đồng mẫu số:
$$ s(5) = \frac{250}{6} - \frac{225}{6} + 50 + 2 $$
$$ s(5) = \frac{250 - 225}{6} + 50 + 2 $$
$$ s(5) = \frac{25}{6} + 50 + 2 $$
$$ s(5) = \frac{25}{6} + 52 $$
$$ s(5) = \frac{25}{6} + \frac{312}{6} $$
$$ s(5) = \frac{337}{6} \approx 56.1667 $$

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất:
$$ s(5) \approx 56.2 \text{ mét} $$

Vậy quãng đường mà vật đi được khi vận tốc đạt 20 m/s là 56.2 mét.

Câu 4:
Để tính góc giữa đường thẳng BD và đáy hố, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các thông số đã cho:
- Chiều dài AB = 1 m
- Chiều rộng AD = 3,5 m
- Chiều sâu hố = 2 m

Bước 2: Xác định tam giác vuông ABD:
- Tam giác ABD có cạnh AB = 1 m, cạnh AD = 3,5 m.

Bước 3: Tính độ dài đường chéo BD:
- Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABD:
$$ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 3,5^2} = \sqrt{1 + 12,25} = \sqrt{13,25} \approx 3,64 \text{ m} $$

Bước 4: Xác định góc giữa đường thẳng BD và đáy hố:
- Gọi góc giữa đường thẳng BD và đáy hố là góc $\theta$.
- Ta có:
$$ \sin(\theta) = \frac{\text{Chiều sâu hố}}{BD} = \frac{2}{3,64} \approx 0,5495 $$
$$ \theta = \arcsin(0,5495) \approx 33^\circ $$

Vậy góc giữa đường thẳng BD và đáy hố là khoảng 33 độ.

Câu 5:
Trước tiên, ta xác định tọa độ của các đỉnh của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' trong hệ tọa độ Oxyz, với O là gốc tọa độ tại A(0,0,0).

- A(0,0,0)
- B(2,0,0)
- C(2,2,0)
- D(0,2,0)
- A'(0,0,4)
- B'(2,0,4)
- C'(2,2,4)
- D'(0,2,4)

M là trung điểm của BC, nên tọa độ của M là:
$$ M\left(\frac{2+2}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = M(2,1,0) $$

N là trung điểm của AA', nên tọa độ của N là:
$$ N\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = N(0,0,2) $$

Tiếp theo, ta viết phương trình đường thẳng B'D' và MN.

Phương trình đường thẳng B'D':
- B'(2,0,4)
- D'(0,2,4)

Phương vectơ của B'D' là:
$$ \vec{B'D'} = (-2, 2, 0) $$

Phương trình tham số của B'D' là:
$$ \left\{
\begin{array}{l}
x = 2 - 2t \
y = 0 + 2t \
z = 4
\end{array}
\right. $$

Phương trình đường thẳng MN:
- M(2,1,0)
- N(0,0,2)

Phương vectơ của MN là:
$$ \vec{MN} = (-2, -1, 2) $$

Phương trình tham số của MN là:
$$ \left\{
\begin{array}{l}
x = 2 - 2s \
y = 1 - s \
z = 2s
\end{array}
\right. $$

Ta tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng B'D' và MN bằng cách sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
$$ d = \frac{|\vec{MN} \cdot (\vec{B'D'} \times \vec{MN})|}{|\vec{B'D'} \times \vec{MN}|} $$

Tính tích vector:
$$ \vec{B'D'} \times \vec{MN} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-2 & 2 & 0 \
-2 & -1 & 2
\end{vmatrix} = (4, 4, 6) $$

Tính độ dài của tích vector:
$$ |\vec{B'D'} \times \vec{MN}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 16 + 36} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} $$

Tính tích vô hướng:
$$ \vec{MN} \cdot (\vec{B'D'} \times \vec{MN}) = (-2, -1, 2) \cdot (4, 4, 6) = -8 - 4 + 12 = 0 $$

Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng B'D' và MN là:
$$ d = \frac{|0|}{2\sqrt{17}} = 0 $$

Kết luận: Khoảng cách giữa hai đường thẳng B'D' và MN là 0, nghĩa là chúng nằm trên cùng một mặt phẳng và có thể cắt nhau hoặc song song.

Câu 6:
Đặt $t=x-2y$
Ta có $2^{x-2y}.(2x+1)=4y+2x+4$
$\Leftrightarrow 2^{t}.(2x+1)=2x+1+4(y+1)$
$\Leftrightarrow 2^{t}.(2x+1)-2x-1=4(y+1)$
$\Leftrightarrow (2^{t}-1)(2x+1)=4(y+1)$
Vì $x\geq 0$ nên $2x+1\geq 1$
Suy ra $2^{t}-1>0\Leftrightarrow t>0$
Mà $t=x-2y\Rightarrow t\leq 0$ (vì $x\geq 0;1\leq y\leq 3)$
Do đó $t=0$
Suy ra $x=2y$
Thay vào $(2^{t}-1)(2x+1)=4(y+1)$ ta được $y=1;x=2$
Với $x=2;y=1$ thì $P=2^{x-y-2}-x-y^2+2037=2035$
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $2035$.