giải giúp mình

Câu 1: Tổng số cách chọn 3 cuốn sách từ 16 cuốn sách là: C(16, 3) = $\frac{16!}{3!(16-3)!}$ = 560 Số cách chọn 3 cuốn sách cùng loại là: C(5, 3) + C(7, 3) + C(4, 3) = 10 + 35 + 4 = 49 Suy ra Số cách chọn 3 cuốn sách không cùng một loại là: 560 - 49 = 511 Vậy xác suất để 3 cuốn sách được chọn không cùng một loại là: P = $\frac{511}{560}$ ≈ 0,91 Đáp số: 0,91 Câu 2: Tổng số cách để 5 hành khách bước lên tàu là: \[ 3^5 = 243 \] Ta sẽ tính số cách để mỗi toa có ít nhất 1 hành khách bước lên tàu. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp bù trừ. 1. Số cách để tất cả 5 hành khách bước lên cùng 1 toa: \[ 3 \times 1 = 3 \] 2. Số cách để 4 hành khách bước lên cùng 1 toa và 1 hành khách bước lên toa khác: \[ 3 \times \binom{5}{4} \times 2 = 3 \times 5 \times 2 = 30 \] 3. Số cách để 3 hành khách bước lên cùng 1 toa và 2 hành khách bước lên toa khác: \[ 3 \times \binom{5}{3} \times 2 = 3 \times 10 \times 2 = 60 \] 4. Số cách để 2 hành khách bước lên cùng 1 toa và 3 hành khách bước lên toa khác: \[ 3 \times \binom{5}{2} \times 2 = 3 \times 10 \times 2 = 60 \] 5. Số cách để 1 hành khách bước lên cùng 1 toa và 4 hành khách bước lên toa khác: \[ 3 \times \binom{5}{1} \times 2 = 3 \times 5 \times 2 = 30 \] Số cách để mỗi toa có ít nhất 1 hành khách bước lên tàu là: \[ 243 - (3 + 30 + 60 + 60 + 30) = 243 - 183 = 60 \] Xác suất để mỗi toa có ít nhất 1 hành khách bước lên tàu là: \[ \frac{60}{243} \approx 0,2469 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm: \[ 0,25 \] Đáp số: 0,25 Câu 3: Đầu tiên, ta cần tìm thời điểm \( t \) khi vận tốc của vật đạt 20 m/s. Vận tốc \( v(t) \) của vật là đạo hàm của quãng đường \( s(t) \) theo thời gian \( t \). Ta có: \[ s(t) = \frac{1}{3}t^3 - \frac{3}{2}t^2 + 10t + 2 \] Tính đạo hàm của \( s(t) \): \[ v(t) = s'(t) = \left( \frac{1}{3}t^3 - \frac{3}{2}t^2 + 10t + 2 \right)' = t^2 - 3t + 10 \] Bây giờ, ta cần tìm thời điểm \( t \) khi \( v(t) = 20 \): \[ t^2 - 3t + 10 = 20 \] \[ t^2 - 3t - 10 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} \] \[ t = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} \] \[ t = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} \] \[ t = \frac{3 \pm 7}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ t_1 = \frac{3 + 7}{2} = 5 \] \[ t_2 = \frac{3 - 7}{2} = -2 \] Vì thời gian \( t \) không thể âm, ta chọn \( t = 5 \) giây. Tiếp theo, ta tính quãng đường mà vật đi được trong thời gian 5 giây: \[ s(5) = \frac{1}{3}(5)^3 - \frac{3}{2}(5)^2 + 10(5) + 2 \] \[ s(5) = \frac{1}{3}(125) - \frac{3}{2}(25) + 50 + 2 \] \[ s(5) = \frac{125}{3} - \frac{75}{2} + 50 + 2 \] Quy đồng mẫu số: \[ s(5) = \frac{250}{6} - \frac{225}{6} + 50 + 2 \] \[ s(5) = \frac{250 - 225}{6} + 50 + 2 \] \[ s(5) = \frac{25}{6} + 50 + 2 \] \[ s(5) = \frac{25}{6} + 52 \] \[ s(5) = \frac{25}{6} + \frac{312}{6} \] \[ s(5) = \frac{337}{6} \approx 56.1667 \] Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất: \[ s(5) \approx 56.2 \text{ mét} \] Vậy quãng đường mà vật đi được khi vận tốc đạt 20 m/s là 56.2 mét. Câu 4: Để tính góc giữa đường thẳng BD và đáy hố, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các thông số đã cho: - Chiều dài AB = 1 m - Chiều rộng AD = 3,5 m - Chiều sâu hố = 2 m Bước 2: Xác định tam giác vuông ABD: - Tam giác ABD có cạnh AB = 1 m, cạnh AD = 3,5 m. Bước 3: Tính độ dài đường chéo BD: - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABD: \[ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 3,5^2} = \sqrt{1 + 12,25} = \sqrt{13,25} \approx 3,64 \text{ m} \] Bước 4: Xác định góc giữa đường thẳng BD và đáy hố: - Gọi góc giữa đường thẳng BD và đáy hố là góc \(\theta\). - Ta có: \[ \sin(\theta) = \frac{\text{Chiều sâu hố}}{BD} = \frac{2}{3,64} \approx 0,5495 \] \[ \theta = \arcsin(0,5495) \approx 33^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng BD và đáy hố là khoảng 33 độ. Câu 5: Trước tiên, ta xác định tọa độ của các đỉnh của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' trong hệ tọa độ Oxyz, với O là gốc tọa độ tại A(0,0,0). - A(0,0,0) - B(2,0,0) - C(2,2,0) - D(0,2,0) - A'(0,0,4) - B'(2,0,4) - C'(2,2,4) - D'(0,2,4) M là trung điểm của BC, nên tọa độ của M là: \[ M\left(\frac{2+2}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = M(2,1,0) \] N là trung điểm của AA', nên tọa độ của N là: \[ N\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = N(0,0,2) \] Tiếp theo, ta viết phương trình đường thẳng B'D' và MN. Phương trình đường thẳng B'D': - B'(2,0,4) - D'(0,2,4) Phương vectơ của B'D' là: \[ \vec{B'D'} = (-2, 2, 0) \] Phương trình tham số của B'D' là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - 2t \\ y = 0 + 2t \\ z = 4 \end{array} \right. \] Phương trình đường thẳng MN: - M(2,1,0) - N(0,0,2) Phương vectơ của MN là: \[ \vec{MN} = (-2, -1, 2) \] Phương trình tham số của MN là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - 2s \\ y = 1 - s \\ z = 2s \end{array} \right. \] Ta tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng B'D' và MN bằng cách sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: \[ d = \frac{|\vec{MN} \cdot (\vec{B'D'} \times \vec{MN})|}{|\vec{B'D'} \times \vec{MN}|} \] Tính tích vector: \[ \vec{B'D'} \times \vec{MN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (4, 4, 6) \] Tính độ dài của tích vector: \[ |\vec{B'D'} \times \vec{MN}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 16 + 36} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \] Tính tích vô hướng: \[ \vec{MN} \cdot (\vec{B'D'} \times \vec{MN}) = (-2, -1, 2) \cdot (4, 4, 6) = -8 - 4 + 12 = 0 \] Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng B'D' và MN là: \[ d = \frac{|0|}{2\sqrt{17}} = 0 \] Kết luận: Khoảng cách giữa hai đường thẳng B'D' và MN là 0, nghĩa là chúng nằm trên cùng một mặt phẳng và có thể cắt nhau hoặc song song. Câu 6: Đặt $t=x-2y$ Ta có $2^{x-2y}.(2x+1)=4y+2x+4$ $\Leftrightarrow 2^{t}.(2x+1)=2x+1+4(y+1)$ $\Leftrightarrow 2^{t}.(2x+1)-2x-1=4(y+1)$ $\Leftrightarrow (2^{t}-1)(2x+1)=4(y+1)$ Vì $x\geq 0$ nên $2x+1\geq 1$ Suy ra $2^{t}-1>0\Leftrightarrow t>0$ Mà $t=x-2y\Rightarrow t\leq 0$ (vì $x\geq 0;1\leq y\leq 3)$ Do đó $t=0$ Suy ra $x=2y$ Thay vào $(2^{t}-1)(2x+1)=4(y+1)$ ta được $y=1;x=2$ Với $x=2;y=1$ thì $P=2^{x-y-2}-x-y^2+2037=2035$ Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $2035$.