giải giúp với ạ

Câu 6. Để xác định tích \(bc\) của các thành phần của véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}(1; b; c)\) của mặt phẳng (P) qua đường thẳng \(d_1\) và tạo với đường thẳng \(d_2\) một góc \(45^\circ\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm véctơ chỉ phương của các đường thẳng: - Đường thẳng \(d_1\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_1} = (2; -2; -1)\). - Đường thẳng \(d_2\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_2} = (1; 0; -1)\). 2. Tính góc giữa véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) và véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_2}\): - Góc giữa véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) và véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_2}\) là \(45^\circ\). Ta có: \[ \cos 45^\circ = \frac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{n}| |\overrightarrow{u_2}|} \] Biết rằng \(\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\), ta thay vào: \[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|1 \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot (-1)|}{\sqrt{1^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} \] \[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|1 - c|}{\sqrt{1 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{2}} \] \[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|1 - c|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{1 + b^2 + c^2}} \] \[ 1 = |1 - c| \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + b^2 + c^2}} \] \[ \sqrt{1 + b^2 + c^2} = |1 - c| \] 3. Giải phương trình để tìm \(b\) và \(c\): - Ta có hai trường hợp: 1. \(1 - c = \sqrt{1 + b^2 + c^2}\) 2. \(c - 1 = \sqrt{1 + b^2 + c^2}\) Trường hợp 1: \[ 1 - c = \sqrt{1 + b^2 + c^2} \] \[ (1 - c)^2 = 1 + b^2 + c^2 \] \[ 1 - 2c + c^2 = 1 + b^2 + c^2 \] \[ -2c = b^2 \] \[ b^2 = -2c \] Trường hợp 2: \[ c - 1 = \sqrt{1 + b^2 + c^2} \] \[ (c - 1)^2 = 1 + b^2 + c^2 \] \[ c^2 - 2c + 1 = 1 + b^2 + c^2 \] \[ -2c = b^2 \] \[ b^2 = -2c \] Từ cả hai trường hợp, ta đều có \(b^2 = -2c\). Điều này chỉ đúng nếu \(c < 0\) và \(b^2 = -2c\). 4. Xác định tích \(bc\): - Vì \(b^2 = -2c\), ta có \(c = -\frac{b^2}{2}\). - Tích \(bc\) là: \[ bc = b \left(-\frac{b^2}{2}\right) = -\frac{b^3}{2} \] Do đó, tích \(bc\) là \(-\frac{b^3}{2}\). Đáp số: \(-\frac{b^3}{2}\)