Giúp mình với! Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B,là các tiếp điểm).,a) Chứng minh OM vuông góc với AB tại K.,b) Vẽ đường kính AE của đường tròn (O), ME cắt (O) tại điểm thứ hai là F. Gọi G là,trung điểm của EF. Đường thẳng OG cắt đường thẳng AB tại H. Chứng minh OK.,$OM=OG.OH$,c) Chứng minh $\frac1{BE^2}-\frac1{HE^2}=\frac1{4R^2}$

Question

Accepted Answer

Ta có: OF=OE=R

⇒△OFE cân tại O

Nên OG là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

⇒OG⊥ME

Xét tứ giác $O A M G$ có:

$\hat{O A M} + \hat{O G M} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$

Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau

Nên tứ giác $O A M G$ nội tiếp

$\Rightarrow \hat{A G M} = \hat{A O M}$ (Cùng chắn cung MA)

Mà $\hat{A G M} + \hat{A G O} = 90^{\circ}$

$\hat{A O M} + \hat{O A K} = 90^{\circ}$

$\Rightarrow \hat{A G O} = \hat{O A K}$

Xét △OAG và △OHA có:

$\hat{H O A}$ chung

$\hat{O G A} = \hat{O A H} (c m t)$

$\Rightarrow △ O A G$ $∽$ $△ O H A (g - g)$

$\Rightarrow \frac{O A}{O H} = \frac{O G}{O A}$

Hay $O A^{2} = O G . O H$

Mà $O A = O E = R$

$\Rightarrow O E^{2} = O G . O H$

$\Rightarrow △ O E H$ vuông tại $E$

Hay $△ A E H$ vuông tại $E$

Mà $B E$ là đường cao

$+) H E^{2} = B H . A H$

$\Rightarrow \frac{1}{H E^{2}} = \frac{1}{B H . A H}$

$+) B E^{2} = B H . A B$

$\Rightarrow \frac{1}{B E^{2}} = \frac{1}{B H . A B}$

Ta có: $\frac{1}{B E^{2}} - \frac{1}{H E^{2}} = \frac{1}{B H . A B} - \frac{1}{B H . A H}$

$= \frac{1}{B H} (\frac{1}{A B} - \frac{1}{A H})$

$= \frac{1}{B H} (\frac{A H - A B}{A B . A H})$

$= \frac{1}{B H} (\frac{B H}{A E^{2}})$

$= \frac{1}{{(2 R)}^{2}}$

$= \frac{1}{4 R^{2}}$