Giúp tôi với ạ ?

Câu 13. Ta có: \[ \int^2_2 f(x) \, dx = \int^2_3 f(x) \, dx + \int^3_2 f(x) \, dx \] Theo đề bài, ta biết rằng: \[ \int^3_2 f(x) \, dx = 3 \] và \[ \int^2_3 f(x) \, dx = 9 \] Do đó: \[ \int^2_2 f(x) \, dx = 9 + 3 = 12 \] Vậy: \[ \int^2_2 f(x) \, dx = 0 \] Đáp số: 0 Câu 14. Diện tích phần hình phẳng được tô màu là: \[ S = \int_{0}^{1} (x^2 + 1 - x) dx = \left( \frac{x^3}{3} + x - \frac{x^2}{2} \right) \Bigg|_{0}^{1} = \frac{5}{6} \] Đáp số: $\frac{5}{6}$ Câu 15. Để viết các công thức tính diện tích hình phẳng trong các trường hợp đã cho, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tích phân để tính diện tích. Trường hợp a: $S = \{y = f(x), y = 0, x = a, x = b\}$ Trong trường hợp này, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = f(x)$, trục hoành ($y = 0$), và hai đường thẳng thẳng đứng $x = a$ và $x = b$. Diện tích $S$ được tính bằng cách tích phân hàm số $f(x)$ từ $x = a$ đến $x = b$: \[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Nếu $f(x) \geq 0$ trên đoạn $[a, b]$, ta có: \[ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] Nếu $f(x) < 0$ trên đoạn $[a, b]$, ta có: \[ S = -\int_{a}^{b} f(x) \, dx \] Nếu $f(x)$ đổi dấu trên đoạn $[a, b]$, ta chia đoạn $[a, b]$ thành các đoạn nhỏ hơn sao cho $f(x)$ không đổi dấu trên mỗi đoạn nhỏ, rồi tính tổng các tích phân riêng lẻ. Trường hợp b: $S = \{y = f(x), y = g(x), x = a, x = b\}$ Trong trường hợp này, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$, và hai đường thẳng thẳng đứng $x = a$ và $x = b$. Diện tích $S$ được tính bằng cách tích phân hiệu giữa hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ từ $x = a$ đến $x = b$: \[ S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx \] Nếu $f(x) \geq g(x)$ trên đoạn $[a, b]$, ta có: \[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx \] Nếu $g(x) \geq f(x)$ trên đoạn $[a, b]$, ta có: \[ S = \int_{a}^{b} (g(x) - f(x)) \, dx \] Nếu $f(x)$ và $g(x)$ đổi vị trí lớn hơn nhau trên đoạn $[a, b]$, ta chia đoạn $[a, b]$ thành các đoạn nhỏ hơn sao cho $f(x) \geq g(x)$ hoặc $g(x) \geq f(x)$ trên mỗi đoạn nhỏ, rồi tính tổng các tích phân riêng lẻ. Tóm tắt: - Trường hợp a: $S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ - Trường hợp b: $S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$ Đây là các công thức tính diện tích hình phẳng trong các trường hợp đã cho. Câu 16. Để tính diện tích phần hình phẳng như trong hình vẽ, ta sẽ áp dụng phương pháp tính diện tích bằng cách chia hình phẳng thành các phần nhỏ hơn và sau đó tích phân để tìm tổng diện tích. Bước 1: Xác định phương trình của các đường biên của hình phẳng. - Đường thẳng \( y = x \) - Parabol \( y = x^2 \) Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường này. - Giải phương trình \( x = x^2 \): \[ x^2 - x = 0 \] \[ x(x - 1) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 1 \] Bước 3: Xác định khoảng tích phân. - Giao điểm là \( x = 0 \) và \( x = 1 \). Bước 4: Tính diện tích bằng cách tích phân hiệu giữa hai hàm số từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \). - Diện tích \( A \) được tính bằng: \[ A = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx \] Bước 5: Thực hiện tích phân. \[ A = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \] \[ A = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{3} \right) \] \[ A = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - (0) \] \[ A = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \] \[ A = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} \] \[ A = \frac{1}{6} \] Vậy diện tích phần hình phẳng là \( \frac{1}{6} \). Câu 17. Thể tích của khối tròn xoay được tạo ra khi quay phần diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục Ox và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \) quanh trục Ox có thể được tính bằng công thức tích phân sau: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Bây giờ, chúng ta sẽ đi qua từng bước để hiểu rõ hơn về công thức này: 1. Xác định khoảng tích phân: Khoảng tích phân từ \( a \) đến \( b \) là đoạn trên trục Ox mà chúng ta đang xét. 2. Tính diện tích của một vòng tròn nhỏ: Khi quay một dải mỏng dọc theo trục Ox với chiều rộng \( dx \) quanh trục Ox, nó tạo thành một vòng tròn nhỏ với bán kính \( f(x) \). Diện tích của vòng tròn này là: \[ A(x) = \pi [f(x)]^2 \] 3. Tích phân diện tích các vòng tròn nhỏ: Để tìm thể tích tổng cộng của khối tròn xoay, chúng ta tích phân diện tích của tất cả các vòng tròn nhỏ này từ \( x = a \) đến \( x = b \): \[ V = \int_{a}^{b} A(x) \, dx = \int_{a}^{b} \pi [f(x)]^2 \, dx \] 4. Nhân với \(\pi\): Vì diện tích mỗi vòng tròn nhỏ đã nhân với \(\pi\), nên thể tích cuối cùng sẽ là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Vậy, thể tích của khối tròn xoay là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Câu 18. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \( y = x^2 \), \( y = 0 \), \( x = -1 \), và \( x = 2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng tích phân: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \( x = -1 \) và \( x = 2 \). 2. Tích phân hàm số \( y = x^2 \) trong khoảng từ \( x = -1 \) đến \( x = 2 \): Diện tích \( A \) được tính bằng tích phân: \[ A = \int_{-1}^{2} x^2 \, dx \] 3. Tính tích phân: Tính tích phân của \( x^2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \] Do đó: \[ A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} \] 4. Thay cận vào biểu thức tích phân: \[ A = \left( \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} \right) \] \[ A = \left( \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{-1}{3} \right) \] \[ A = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} \] \[ A = \frac{9}{3} \] \[ A = 3 \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \( y = x^2 \), \( y = 0 \), \( x = -1 \), và \( x = 2 \) là \( 3 \) đơn vị diện tích. Câu 19. Để tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đường cong \( y = \sqrt{x^2 + 1} \), trục hoành và các đường thẳng \( x = 0 \) và \( x = 1 \), ta sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó, \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \), \( a = 0 \), và \( b = 1 \). Bước 1: Tính \( [f(x)]^2 \): \[ [f(x)]^2 = (\sqrt{x^2 + 1})^2 = x^2 + 1 \] Bước 2: Thay vào công thức thể tích: \[ V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 + 1) \, dx \] Bước 3: Tính tích phân: \[ \int_{0}^{1} (x^2 + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{1} \] Bước 4: Đánh giá tích phân tại các cận: \[ \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 \right) = \left( \frac{1}{3} + 1 \right) - 0 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \] Bước 5: Nhân với \(\pi\): \[ V = \pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{4\pi}{3} \] Vậy thể tích khối tròn xoay là: \[ \boxed{\frac{4\pi}{3}} \] Câu 20. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = x^2 - x + 3$ và đường thẳng $y = 2x + 1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm giao điểm của hai đồ thị Ta giải phương trình: \[ x^2 - x + 3 = 2x + 1 \] \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Phương trình này có các nghiệm: \[ x = 1 \quad \text{và} \quad x = 2 \] Bước 2: Xác định khoảng tích phân Hai giao điểm là $x = 1$ và $x = 2$. Do đó, ta sẽ tính diện tích từ $x = 1$ đến $x = 2$. Bước 3: Tính diện tích Diện tích $A$ giữa hai đồ thị từ $x = 1$ đến $x = 2$ được tính bằng công thức: \[ A = \int_{1}^{2} [(2x + 1) - (x^2 - x + 3)] \, dx \] \[ A = \int_{1}^{2} (2x + 1 - x^2 + x - 3) \, dx \] \[ A = \int_{1}^{2} (-x^2 + 3x - 2) \, dx \] Bước 4: Tính tích phân \[ A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x \right]_{1}^{2} \] Tính tại $x = 2$: \[ -\frac{2^3}{3} + \frac{3 \cdot 2^2}{2} - 2 \cdot 2 = -\frac{8}{3} + 6 - 4 = -\frac{8}{3} + 2 = -\frac{8}{3} + \frac{6}{3} = -\frac{2}{3} \] Tính tại $x = 1$: \[ -\frac{1^3}{3} + \frac{3 \cdot 1^2}{2} - 2 \cdot 1 = -\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{5}{6} \] Diện tích: \[ A = \left( -\frac{2}{3} \right) - \left( -\frac{5}{6} \right) = -\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = -\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \] Kết luận: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = x^2 - x + 3$ và đường thẳng $y = 2x + 1$ là $\frac{1}{6}$. Đáp số: $\frac{1}{6}$