giải chi tiết bằng tích phân

Để tính thể tích của thùng rượu, ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân. Ta sẽ chia thùng rượu thành các phần nhỏ và tính thể tích của mỗi phần rồi tổng hợp lại. Bước 1: Xác định phương trình của đường parabol. - Ta biết rằng đường parabol đi qua điểm (0, 30) và (50, 0). - Phương trình của đường parabol có dạng \( y = ax^2 + bx + c \). Bước 2: Tìm các hệ số \( a \), \( b \), và \( c \). - Vì đường parabol đi qua điểm (0, 30), ta có \( c = 30 \). - Vì đường parabol đi qua điểm (50, 0), ta có \( 0 = a(50)^2 + b(50) + 30 \). Bước 3: Xác định phương trình của đường parabol. - Ta có \( 0 = 2500a + 50b + 30 \). - Ta cũng biết rằng đường parabol đối xứng qua trục \( x = 50 \), do đó \( b = -100a \). Bước 4: Thay vào phương trình để tìm \( a \) và \( b \). - \( 0 = 2500a + 50(-100a) + 30 \) - \( 0 = 2500a - 5000a + 30 \) - \( 0 = -2500a + 30 \) - \( 2500a = 30 \) - \( a = \frac{30}{2500} = \frac{3}{250} \) - \( b = -100 \times \frac{3}{250} = -\frac{300}{250} = -\frac{6}{5} \) Do đó, phương trình của đường parabol là: \[ y = \frac{3}{250}x^2 - \frac{6}{5}x + 30 \] Bước 5: Tính thể tích bằng phương pháp tích phân. - Ta sẽ tính thể tích của một nửa thùng rượu rồi nhân đôi. - Thể tích của một nửa thùng rượu là: \[ V_{half} = \pi \int_{0}^{50} \left( \frac{3}{250}x^2 - \frac{6}{5}x + 30 \right)^2 dx \] Bước 6: Thực hiện tích phân. \[ V_{half} = \pi \int_{0}^{50} \left( \frac{9}{62500}x^4 - \frac{36}{1250}x^3 + \frac{36}{25}x^2 - \frac{36}{5}x + 900 \right) dx \] \[ V_{half} = \pi \left[ \frac{9}{250000}x^5 - \frac{9}{3125}x^4 + \frac{12}{25}x^3 - \frac{18}{5}x^2 + 900x \right]_{0}^{50} \] \[ V_{half} = \pi \left( \frac{9}{250000}(50)^5 - \frac{9}{3125}(50)^4 + \frac{12}{25}(50)^3 - \frac{18}{5}(50)^2 + 900(50) \right) \] \[ V_{half} = \pi \left( \frac{9}{250000}(31250000) - \frac{9}{3125}(6250000) + \frac{12}{25}(125000) - \frac{18}{5}(2500) + 45000 \right) \] \[ V_{half} = \pi \left( 1125 - 18000 + 60000 - 9000 + 45000 \right) \] \[ V_{half} = \pi \left( 97500 - 27000 \right) \] \[ V_{half} = \pi \times 70500 \] Bước 7: Tính thể tích toàn bộ thùng rượu. \[ V = 2 \times 70500 \pi \approx 443100 \text{ cm}^3 \] Bước 8: Chuyển đổi đơn vị từ cm³ sang lít. \[ V \approx 443.1 \text{ lít} \] Vậy thể tích của thùng rượu là khoảng 443 lít.