Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, các cạnh AB = 3, BC = 2, cạnh bên SA = 2 và SA vuông góc với đáy. Mặt phẳng (a) qua A, vuông góc SB cắt SB và SC lần lượt tại M và N. Diện tích của tam giác AMN bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến 2 chữ số sau dấu phẩy).

Question

Accepted Answer

Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho:
- Tam giác ABC là tam giác vuông tại B với AB = 3 và BC = 2.
- Cạnh bên SA = 2 và SA vuông góc với đáy ABC.
- Mặt phẳng (α) qua A, vuông góc với SB, cắt SB và SC lần lượt tại M và N.

Bước 1: Xác định diện tích tam giác ABC.
Diện tích tam giác ABC là:
$$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3 $$

Bước 2: Xác định độ dài SB.
Ta có:
$$ SB^2 = SA^2 + AB^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 $$
$$ SB = \sqrt{13} $$

Bước 3: Xác định độ dài SC.
Ta có:
$$ SC^2 = SA^2 + AC^2 $$
Trước tiên, ta tính AC:
$$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} $$
Do đó:
$$ SC^2 = 2^2 + (\sqrt{13})^2 = 4 + 13 = 17 $$
$$ SC = \sqrt{17} $$

Bước 4: Xác định diện tích tam giác SBC.
Diện tích tam giác SBC là:
$$ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times SB \times BC = \frac{1}{2} \times \sqrt{13} \times 2 = \sqrt{13} $$

Bước 5: Xác định diện tích tam giác AMN.
Mặt phẳng (α) qua A, vuông góc với SB, cắt SB và SC lần lượt tại M và N. Vì (α) vuông góc với SB nên tam giác AMN là tam giác vuông tại M.

Ta có:
$$ \frac{S_{AMN}}{S_{SBC}} = \left( \frac{SA}{SC} \right)^2 = \left( \frac{2}{\sqrt{17}} \right)^2 = \frac{4}{17} $$

Diện tích tam giác AMN là:
$$ S_{AMN} = \frac{4}{17} \times S_{SBC} = \frac{4}{17} \times \sqrt{13} \approx 0.97 $$

Vậy diện tích của tam giác AMN là:
$$ \boxed{0.97} $$

Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, các cạnh AB = 3, BC = 2, cạnh bên SA = 2 và SA vuông góc với đáy. Mặt phẳng (a) qua A, vuông góc SB cắt SB và SC lần lượt tại M và N. Diện tích...