rõ ràng đầy đủ Câu 5: (3,5 điểm) Cho điểm M nằm ngoài đường tròn $(O;R).$ Vẽ các tiếp tuyến MA, MB (A, B,là các tiếp điểm) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua M cắt đường tròn (O) tại hai điểm C,và D (C nằm giữa M và D).,a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.,b) Chứng minh $MC.MD=MA^2$,c) Biết $MO=2R,$ chứng minh tam giác MAB là tam giác đều.

Question

Accepted Answer

a, Vì MA, MB là các tiếp tuyến của (O)
Nên $\displaystyle \widehat{OAM} =\widehat{OBM} =90^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow A,B$ thuộc đường tròn đường kính OM
$\displaystyle \Longrightarrow $Tứ giác MAOB nội tiếp
b, Xét (O) có: $\displaystyle \widehat{MAC} =\widehat{ADM}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn 1 cung)
Xét $\displaystyle \vartriangle MAC$ và $\displaystyle \vartriangle MDA$ có:
$\displaystyle \widehat{MAC} =\widehat{ADM}$
$\displaystyle \widehat{AMD} :$góc chung
Do đó $\displaystyle \vartriangle MAC\backsim \vartriangle MDA$ (g.g)
$\displaystyle \Longrightarrow \frac{MC}{AM} =\frac{MA}{MD} \Longrightarrow MA^{2} =MC.MD$
c, Vì MA là tiếp tuyến của (O) nên $\displaystyle \widehat{OAM} =90^{0}$
Xét $\displaystyle \vartriangle OAM$ vuông tại A có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
cos\widehat{AOM} =\frac{OA}{OM} =\frac{R}{2R} =\frac{1}{2}\
\Longrightarrow \widehat{AOM} =60^{0}
\end{array}$
Tứ giác MAOB nội tiếp $\displaystyle \Longrightarrow \widehat{MBA} =\widehat{MOA} =60^{0}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
Vì MA, MB là các tiếp tuyến của (O) nên MA=MB
$\displaystyle \Longrightarrow \vartriangle MAB$ cân tại M
Mà $\displaystyle \widehat{MBA} =60^{0}$
Do đó $\displaystyle \vartriangle MAB$ đều