trả lời câu hỏi

Câu 29. Để tính $\int^5_32f(x)dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân liên quan đến hằng số nhân với hàm số. Cụ thể, theo tính chất của tích phân: \[ \int_a^b c \cdot f(x) \, dx = c \cdot \int_a^b f(x) \, dx \] Trong đó, \(c\) là hằng số. Áp dụng vào bài toán, ta có: \[ \int^5_3 2f(x) \, dx = 2 \cdot \int^5_3 f(x) \, dx \] Biết rằng \(\int^5_3 f(x) \, dx = 3\), ta thay vào: \[ \int^5_3 2f(x) \, dx = 2 \cdot 3 = 6 \] Vậy đáp án đúng là: A. 6 Đáp số: A. 6 Câu 30. Để tính $\int^2_{-1}f(x)dx$, ta sử dụng công thức tính tích phân của một hàm số liên tục trên đoạn [a, b] đã biết nguyên hàm F(x) của f(x): \[ \int^b_a f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] Trong bài này, ta có: - \(a = -1\) - \(b = 2\) - \(F(-1) = 6\) - \(F(2) = 2\) Áp dụng công thức trên, ta có: \[ \int^2_{-1} f(x) \, dx = F(2) - F(-1) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \int^2_{-1} f(x) \, dx = 2 - 6 = -4 \] Vậy đáp án đúng là D. -4. Đáp số: D. -4. Câu 31. Để tính $F(4)$, ta cần tìm nguyên hàm của $f(x) = -x^4 - 2x + 6$. Bước 1: Tìm nguyên hàm của $f(x)$: \[ F(x) = \int (-x^4 - 2x + 6) \, dx \] Ta tính từng phần nguyên hàm: \[ \int -x^4 \, dx = -\frac{x^5}{5} \] \[ \int -2x \, dx = -x^2 \] \[ \int 6 \, dx = 6x \] Vậy nguyên hàm tổng là: \[ F(x) = -\frac{x^5}{5} - x^2 + 6x + C \] Bước 2: Xác định hằng số $C$ bằng cách sử dụng điều kiện $F(1) = 4$: \[ F(1) = -\frac{1^5}{5} - 1^2 + 6 \cdot 1 + C = 4 \] \[ -\frac{1}{5} - 1 + 6 + C = 4 \] \[ -\frac{1}{5} + 5 + C = 4 \] \[ \frac{-1 + 25}{5} + C = 4 \] \[ \frac{24}{5} + C = 4 \] \[ C = 4 - \frac{24}{5} = \frac{20}{5} - \frac{24}{5} = -\frac{4}{5} \] Bước 3: Viết lại $F(x)$ với hằng số $C$ đã tìm được: \[ F(x) = -\frac{x^5}{5} - x^2 + 6x - \frac{4}{5} \] Bước 4: Tính $F(4)$: \[ F(4) = -\frac{4^5}{5} - 4^2 + 6 \cdot 4 - \frac{4}{5} \] \[ = -\frac{1024}{5} - 16 + 24 - \frac{4}{5} \] \[ = -\frac{1024}{5} + 8 - \frac{4}{5} \] \[ = -\frac{1024}{5} - \frac{4}{5} + 8 \] \[ = -\frac{1028}{5} + 8 \] \[ = -\frac{1028}{5} + \frac{40}{5} \] \[ = -\frac{988}{5} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{-\frac{988}{5}} \] Câu 32. Để tính $F(3) - 4$, ta cần tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 3x^4 + 8x - 1$. Bước 1: Tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)$: \[ F(x) = \int (3x^4 + 8x - 1) \, dx \] \[ F(x) = \frac{3x^5}{5} + 4x^2 - x + C \] Bước 2: Xác định hằng số $C$ bằng cách sử dụng điều kiện $F(2) = 4$: \[ F(2) = \frac{3(2)^5}{5} + 4(2)^2 - 2 + C = 4 \] \[ F(2) = \frac{3 \cdot 32}{5} + 4 \cdot 4 - 2 + C = 4 \] \[ F(2) = \frac{96}{5} + 16 - 2 + C = 4 \] \[ F(2) = \frac{96}{5} + 14 + C = 4 \] \[ \frac{96}{5} + 14 + C = 4 \] \[ \frac{96}{5} + \frac{70}{5} + C = 4 \] \[ \frac{166}{5} + C = 4 \] \[ C = 4 - \frac{166}{5} \] \[ C = \frac{20}{5} - \frac{166}{5} \] \[ C = \frac{-146}{5} \] Bước 3: Viết lại $F(x)$ với hằng số $C$ đã tìm được: \[ F(x) = \frac{3x^5}{5} + 4x^2 - x - \frac{146}{5} \] Bước 4: Tính $F(3)$: \[ F(3) = \frac{3(3)^5}{5} + 4(3)^2 - 3 - \frac{146}{5} \] \[ F(3) = \frac{3 \cdot 243}{5} + 4 \cdot 9 - 3 - \frac{146}{5} \] \[ F(3) = \frac{729}{5} + 36 - 3 - \frac{146}{5} \] \[ F(3) = \frac{729}{5} + \frac{180}{5} - \frac{15}{5} - \frac{146}{5} \] \[ F(3) = \frac{729 + 180 - 15 - 146}{5} \] \[ F(3) = \frac{754 - 161}{5} \] \[ F(3) = \frac{593}{5} \] Bước 5: Tính $F(3) - 4$: \[ F(3) - 4 = \frac{593}{5} - 4 \] \[ F(3) - 4 = \frac{593}{5} - \frac{20}{5} \] \[ F(3) - 4 = \frac{593 - 20}{5} \] \[ F(3) - 4 = \frac{573}{5} \] Vậy đáp án đúng là $\frac{573}{5}$. Đáp án: $\boxed{\frac{573}{5}}$ Câu 33. Để tính \( f(2) + 4 \), ta cần tìm \( f(x) \) trước tiên. Ta biết rằng \( f'(x) = -3x^3 - 3x + 8 \). Ta sẽ tìm \( f(x) \) bằng cách tích phân \( f'(x) \). \[ f(x) = \int (-3x^3 - 3x + 8) \, dx \] Tích phân từng hạng tử: \[ f(x) = -3 \int x^3 \, dx - 3 \int x \, dx + 8 \int 1 \, dx \] \[ f(x) = -3 \cdot \frac{x^4}{4} - 3 \cdot \frac{x^2}{2} + 8x + C \] \[ f(x) = -\frac{3x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 8x + C \] Biết rằng \( f(-1) = 3 \), ta thay vào để tìm hằng số \( C \): \[ f(-1) = -\frac{3(-1)^4}{4} - \frac{3(-1)^2}{2} + 8(-1) + C = 3 \] \[ f(-1) = -\frac{3}{4} - \frac{3}{2} - 8 + C = 3 \] \[ f(-1) = -\frac{3}{4} - \frac{6}{4} - 8 + C = 3 \] \[ f(-1) = -\frac{9}{4} - 8 + C = 3 \] \[ f(-1) = -\frac{9}{4} - \frac{32}{4} + C = 3 \] \[ f(-1) = -\frac{41}{4} + C = 3 \] \[ C = 3 + \frac{41}{4} \] \[ C = \frac{12}{4} + \frac{41}{4} \] \[ C = \frac{53}{4} \] Vậy hàm số \( f(x) \) là: \[ f(x) = -\frac{3x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 8x + \frac{53}{4} \] Bây giờ, ta tính \( f(2) \): \[ f(2) = -\frac{3(2)^4}{4} - \frac{3(2)^2}{2} + 8(2) + \frac{53}{4} \] \[ f(2) = -\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3 \cdot 4}{2} + 16 + \frac{53}{4} \] \[ f(2) = -12 - 6 + 16 + \frac{53}{4} \] \[ f(2) = -2 + \frac{53}{4} \] \[ f(2) = -\frac{8}{4} + \frac{53}{4} \] \[ f(2) = \frac{45}{4} \] Cuối cùng, ta tính \( f(2) + 4 \): \[ f(2) + 4 = \frac{45}{4} + 4 \] \[ f(2) + 4 = \frac{45}{4} + \frac{16}{4} \] \[ f(2) + 4 = \frac{61}{4} \] Vậy đáp án đúng là: C. $\frac{61}{4}$ Câu 34. Để tính $\int^{-1}_{-2}8f(x)dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân liên quan đến hằng số nhân: \[ \int^{-1}_{-2}8f(x)dx = 8 \int^{-1}_{-2}f(x)dx \] Biết rằng $\int^{-1}_{-2}f(x)dx = -3$, ta thay vào: \[ 8 \int^{-1}_{-2}f(x)dx = 8 \times (-3) = -24 \] Vậy $\int^{-1}_{-2}8f(x)dx = -24$. Đáp án đúng là: B. -24 Câu 35. Để tính $\int^6_3 f(x) dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân: \[ \int^6_3 f(x) dx = -\int^3_6 f(x) dx \] Ta biết rằng: \[ \int^3_6 7f(x) dx = -3 \] Do đó: \[ 7 \int^3_6 f(x) dx = -3 \] Suy ra: \[ \int^3_6 f(x) dx = -\frac{3}{7} \] Vậy: \[ \int^6_3 f(x) dx = -\left(-\frac{3}{7}\right) = \frac{3}{7} \] Đáp án đúng là: D. $\frac{3}{7}$ Câu 36. Để tính $\int^1_0 f(z) dz$, ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho và tính chất của tích phân. Ta có: \[ \int^1_{-2} 5f(x) dx = -4 \] \[ \int^0_{-2} 2f(y) dy = -4 \] Bước 1: Tính $\int^1_{-2} f(x) dx$ \[ \int^1_{-2} 5f(x) dx = 5 \int^1_{-2} f(x) dx = -4 \] \[ \int^1_{-2} f(x) dx = \frac{-4}{5} = -\frac{4}{5} \] Bước 2: Tính $\int^0_{-2} f(y) dy$ \[ \int^0_{-2} 2f(y) dy = 2 \int^0_{-2} f(y) dy = -4 \] \[ \int^0_{-2} f(y) dy = \frac{-4}{2} = -2 \] Bước 3: Tính $\int^1_0 f(z) dz$ \[ \int^1_{-2} f(x) dx = \int^0_{-2} f(y) dy + \int^1_0 f(z) dz \] \[ -\frac{4}{5} = -2 + \int^1_0 f(z) dz \] \[ \int^1_0 f(z) dz = -\frac{4}{5} + 2 \] \[ \int^1_0 f(z) dz = -\frac{4}{5} + \frac{10}{5} \] \[ \int^1_0 f(z) dz = \frac{6}{5} \] Vậy đáp án đúng là: C. $\frac{6}{5}$ Câu 37. Để tính $\int^4_3 f(z) dz$, ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho và tính chất của tích phân. Ta biết rằng: \[ \int^4_0 4f(x) dx = -4 \] \[ \int^0_3 6f(y) dy = 7 \] Trước tiên, ta sẽ biến đổi các tích phân này để dễ dàng hơn trong việc tính toán. 1. Biến đổi tích phân thứ nhất: \[ \int^4_0 4f(x) dx = 4 \int^4_0 f(x) dx = -4 \] \[ \Rightarrow \int^4_0 f(x) dx = -1 \] 2. Biến đổi tích phân thứ hai: \[ \int^0_3 6f(y) dy = 6 \int^0_3 f(y) dy = 7 \] \[ \Rightarrow \int^0_3 f(y) dy = \frac{7}{6} \] Bây giờ, ta cần tính $\int^4_3 f(z) dz$. Ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để kết hợp các tích phân đã biết. Ta có: \[ \int^4_0 f(x) dx = \int^4_3 f(x) dx + \int^3_0 f(x) dx \] Do đó: \[ -1 = \int^4_3 f(z) dz + \int^3_0 f(z) dz \] Ta cũng biết rằng: \[ \int^3_0 f(z) dz = -\int^0_3 f(z) dz = -\frac{7}{6} \] Thay vào phương trình trên: \[ -1 = \int^4_3 f(z) dz - \frac{7}{6} \] Giải phương trình này để tìm $\int^4_3 f(z) dz$: \[ \int^4_3 f(z) dz = -1 + \frac{7}{6} \] \[ \int^4_3 f(z) dz = \frac{-6 + 7}{6} \] \[ \int^4_3 f(z) dz = \frac{1}{6} \] Vậy đáp án đúng là: D. $\frac{1}{6}$ Câu 38. Để tính $\int^6_3 f(z) dz + \int^9_8 f(z) dz$, ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho và tính chất của tích phân. Ta có: \[ \int^9_3 5f(x) dx = 3 \] \[ \int^6_8 8f(y) dy = 7 \] Trước tiên, ta chia tích phân $\int^9_3 5f(x) dx$ thành hai phần: \[ \int^9_3 5f(x) dx = \int^6_3 5f(x) dx + \int^9_6 5f(x) dx \] Do đó: \[ \int^6_3 5f(x) dx + \int^9_6 5f(x) dx = 3 \] Tiếp theo, ta chia tích phân $\int^9_6 5f(x) dx$ thành hai phần khác: \[ \int^9_6 5f(x) dx = \int^9_8 5f(x) dx + \int^8_6 5f(x) dx \] Do đó: \[ \int^6_3 5f(x) dx + \int^9_8 5f(x) dx + \int^8_6 5f(x) dx = 3 \] Bây giờ, ta chia tích phân $\int^6_8 8f(y) dy$ thành hai phần: \[ \int^6_8 8f(y) dy = -\int^8_6 8f(y) dy \] Do đó: \[ -\int^8_6 8f(y) dy = 7 \] \[ \int^8_6 8f(y) dy = -7 \] Chúng ta biết rằng: \[ \int^8_6 8f(y) dy = 8 \int^8_6 f(y) dy \] Do đó: \[ 8 \int^8_6 f(y) dy = -7 \] \[ \int^8_6 f(y) dy = -\frac{7}{8} \] Bây giờ, ta thay vào phương trình ban đầu: \[ \int^6_3 5f(x) dx + \int^9_8 5f(x) dx - \frac{7}{8} = 3 \] Chúng ta cần tìm $\int^6_3 f(z) dz + \int^9_8 f(z) dz$. Ta chia mỗi tích phân thành các phần nhỏ hơn: \[ \int^6_3 f(z) dz = \frac{1}{5} \int^6_3 5f(z) dz \] \[ \int^9_8 f(z) dz = \frac{1}{5} \int^9_8 5f(z) dz \] Do đó: \[ \int^6_3 f(z) dz + \int^9_8 f(z) dz = \frac{1}{5} \left( \int^6_3 5f(z) dz + \int^9_8 5f(z) dz \right) \] Từ phương trình trước đó: \[ \int^6_3 5f(x) dx + \int^9_8 5f(x) dx = 3 + \frac{7}{8} = \frac{24}{8} + \frac{7}{8} = \frac{31}{8} \] Do đó: \[ \int^6_3 f(z) dz + \int^9_8 f(z) dz = \frac{1}{5} \times \frac{31}{8} = \frac{31}{40} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{31}{40}} \] Câu 39. Để tính $\int^4_2(f(x)+g(x))dx$, ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho và tính chất của tích phân. Bước 1: Xác định các tích phân đã cho: \[ \int^4_2 7f(x) \, dx = 3 \] \[ \int^2_4 4g(y) \, dy = 4 \] Bước 2: Chuyển đổi giới hạn tích phân của $\int^2_4 4g(y) \, dy$ để phù hợp với $\int^4_2 g(x) \, dx$. Ta biết rằng: \[ \int^2_4 4g(y) \, dy = -\int^4_2 4g(y) \, dy \] Do đó: \[ -\int^4_2 4g(y) \, dy = 4 \implies \int^4_2 4g(y) \, dy = -4 \] Bước 3: Tính $\int^4_2 f(x) \, dx$ từ $\int^4_2 7f(x) \, dx = 3$: \[ \int^4_2 7f(x) \, dx = 3 \implies 7 \int^4_2 f(x) \, dx = 3 \implies \int^4_2 f(x) \, dx = \frac{3}{7} \] Bước 4: Tính $\int^4_2 g(x) \, dx$ từ $\int^4_2 4g(y) \, dy = -4$: \[ \int^4_2 4g(y) \, dy = -4 \implies 4 \int^4_2 g(y) \, dy = -4 \implies \int^4_2 g(y) \, dy = -1 \] Bước 5: Tính $\int^4_2 (f(x) + g(x)) \, dx$: \[ \int^4_2 (f(x) + g(x)) \, dx = \int^4_2 f(x) \, dx + \int^4_2 g(x) \, dx = \frac{3}{7} + (-1) = \frac{3}{7} - 1 = \frac{3}{7} - \frac{7}{7} = -\frac{4}{7} \] Vậy đáp án đúng là: A. $-\frac{4}{7}$ Đáp số: $-\frac{4}{7}$ Câu 40. Để tính $\int^4_1 f(z) dz$, ta sẽ sử dụng hai tích phân đã cho để tạo ra một phương trình liên quan đến $\int^4_1 f(x) dx$ và $\int^4_1 g(x) dx$. Bước 1: Gọi $I_1 = \int^4_1 f(x) dx$ và $I_2 = \int^4_1 g(x) dx$. Bước 2: Ta có: \[ \int^4_1 (5f(x) - 2g(x)) dx = 8 \] \[ \int^4_1 (10f(y) + 5g(y)) dy = 7 \] Bước 3: Thay $I_1$ và $I_2$ vào các tích phân trên: \[ 5I_1 - 2I_2 = 8 \quad \text{(1)} \] \[ 10I_1 + 5I_2 = 7 \quad \text{(2)} \] Bước 4: Nhân phương trình (1) với 5 và phương trình (2) với 2 để dễ dàng trừ hai phương trình này: \[ 25I_1 - 10I_2 = 40 \quad \text{(3)} \] \[ 20I_1 + 10I_2 = 14 \quad \text{(4)} \] Bước 5: Cộng phương trình (3) và (4): \[ 25I_1 - 10I_2 + 20I_1 + 10I_2 = 40 + 14 \] \[ 45I_1 = 54 \] \[ I_1 = \frac{54}{45} = \frac{6}{5} \] Vậy $\int^4_1 f(z) dz = \frac{6}{5}$. Đáp án đúng là: B. $\frac{6}{5}$. Câu 41. Để tính $\int^0_{-1} g(z) dz$, chúng ta sẽ sử dụng hai tích phân đã cho để tạo ra một phương trình hệ. Bước 1: Gọi $I_1 = \int^0_{-1} f(x) dx$ và $I_2 = \int^0_{-1} g(x) dx$. Ta có: \[ \int^0_{-1} (6f(x) + 8g(x)) dx = 3 \] \[ \int^0_{-1} (30f(y) - 4g(y)) dy = 2 \] Bước 2: Viết lại các tích phân theo $I_1$ và $I_2$: \[ 6I_1 + 8I_2 = 3 \quad \text{(1)} \] \[ 30I_1 - 4I_2 = 2 \quad \text{(2)} \] Bước 3: Giải hệ phương trình này. Nhân phương trình (1) với 5 để dễ dàng trừ: \[ 30I_1 + 40I_2 = 15 \quad \text{(3)} \] Bước 4: Trừ phương trình (2) từ phương trình (3): \[ (30I_1 + 40I_2) - (30I_1 - 4I_2) = 15 - 2 \] \[ 44I_2 = 13 \] \[ I_2 = \frac{13}{44} \] Vậy $\int^0_{-1} g(z) dz = \frac{13}{44}$. Đáp án đúng là: C. $\frac{13}{44}$ Câu 42. Để tính $\int^{\frac\pi2}_0(7\sin x-4f(x))dx$, ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân và các giá trị đã biết. Trước tiên, ta tách tích phân thành hai phần: \[ \int^{\frac\pi2}_0(7\sin x - 4f(x))dx = \int^{\frac\pi2}_0 7\sin x dx - \int^{\frac\pi2}_0 4f(x) dx \] Ta tính từng phần riêng lẻ. 1. Tính $\int^{\frac\pi2}_0 7\sin x dx$: \[ \int^{\frac\pi2}_0 7\sin x dx = 7 \int^{\frac\pi2}_0 \sin x dx \] Biết rằng $\int \sin x dx = -\cos x$, ta có: \[ 7 \int^{\frac\pi2}_0 \sin x dx = 7 \left[ -\cos x \right]^{\frac\pi2}_0 = 7 \left( -\cos \frac{\pi}{2} + \cos 0 \right) = 7 \left( 0 + 1 \right) = 7 \] 2. Tính $\int^{\frac\pi2}_0 4f(x) dx$: \[ \int^{\frac\pi2}_0 4f(x) dx = 4 \int^{\frac\pi2}_0 f(x) dx \] Biết rằng $\int^{\frac\pi2}_0 9f(x) dx = -5$, ta có: \[ \int^{\frac\pi2}_0 f(x) dx = \frac{-5}{9} \] Do đó: \[ 4 \int^{\frac\pi2}_0 f(x) dx = 4 \left( \frac{-5}{9} \right) = \frac{-20}{9} \] Bây giờ, ta kết hợp hai kết quả trên: \[ \int^{\frac\pi2}_0(7\sin x - 4f(x))dx = 7 - \frac{-20}{9} = 7 + \frac{20}{9} = \frac{63}{9} + \frac{20}{9} = \frac{83}{9} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{83}{9}} \] Câu 43. Để tính $\int^1_{-2}(3x+8f(x)-2g(x))dx$, ta sẽ sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân. Cụ thể, ta có: \[ \int^1_{-2}(3x + 8f(x) - 2g(x)) \, dx = \int^1_{-2} 3x \, dx + \int^1_{-2} 8f(x) \, dx - \int^1_{-2} 2g(x) \, dx \] Ta sẽ tính từng phần riêng lẻ: 1. Tính $\int^1_{-2} 3x \, dx$: \[ \int^1_{-2} 3x \, dx = 3 \int^1_{-2} x \, dx = 3 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^1_{-2} = 3 \left( \frac{1^2}{2} - \frac{(-2)^2}{2} \right) = 3 \left( \frac{1}{2} - \frac{4}{2} \right) = 3 \left( \frac{1}{2} - 2 \right) = 3 \left( \frac{1}{2} - \frac{4}{2} \right) = 3 \left( -\frac{3}{2} \right) = -\frac{9}{2} \] 2. Tính $\int^1_{-2} 8f(x) \, dx$: \[ \int^1_{-2} 8f(x) \, dx = 8 \int^1_{-2} f(x) \, dx = 8 \left( -\frac{5}{2} \right) = -20 \] 3. Tính $\int^1_{-2} 2g(x) \, dx$: \[ \int^1_{-2} 2g(x) \, dx = 2 \int^1_{-2} g(x) \, dx = 2 \cdot 3 = 6 \] Bây giờ, ta tổng hợp lại các kết quả trên: \[ \int^1_{-2}(3x + 8f(x) - 2g(x)) \, dx = -\frac{9}{2} - 20 - 6 = -\frac{9}{2} - \frac{40}{2} - \frac{12}{2} = -\frac{61}{2} \] Vậy, kết quả cuối cùng là: \[ \boxed{-\frac{61}{2}} \]